📊 3.8 — Transformasi Variabel Acak Gabungan

Ringkasan Cepat

Topik: Transformasi Variabel Acak Gabungan | Bobot: ~20–30% | Difficulty: Hard Ref: Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.1–2.6; Miller et al. (2014) Bab 3.5–3.8, 4.6–4.9 | Prereq: 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 3.2 Distribusi Marginal

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 3: Variabel Acak Multivariat	3.8	Menerapkan teknik CDF untuk transformasi gabungan; menghitung Jacobian transformasi dua variabel; menentukan PDF joint baru dari transformasi $(U,V)=g(X,Y)$; menentukan distribusi variabel tunggal $U=g(X,Y)$ via marginalisasi; menerapkan teknik MGF untuk penjumlahan variabel independen	20–30%	Hard	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 3.2 Distribusi Marginal, 3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution), 3.5 Independensi dan Korelasi	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution), 4.2 Distribusi Sampel, 2.3 Fungsi Pembangkit, 2.6 Distribusi Kontinu Umum	Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.1–2.6; Miller et al. (2014) Bab 3.5–3.8, 4.6–4.9

Section 1 — Intuisi

Dalam pemodelan aktuaria, kita jarang hanya peduli pada satu variabel tunggal. Pertimbangkan skenario berikut: seorang aktuaris memiliki dua sumber risiko independen — total klaim dari lini bisnis kendaraan $X$ dan total klaim dari lini bisnis properti $Y$. Yang dibutuhkan perusahaan adalah distribusi dari total klaim gabungan $S=X+Y$, karena inilah yang menentukan cadangan teknis keseluruhan. Masalah ini — “jika kita tahu distribusi gabungan $(X,Y)$, bagaimana distribusi dari suatu fungsi $g(X,Y)$?” — adalah inti dari topik transformasi variabel acak gabungan.

Analoginya adalah seperti memiliki peta dua dimensi dan ingin menggambar kembali peta itu dalam sistem koordinat baru. Jika kita punya titik-titik dalam koordinat $(x,y)$ dan ingin mengekspresikannya dalam koordinat $(u,v)=g(x,y)$, maka “kepadatan” titik-titik itu di koordinat baru harus disesuaikan — kita tidak bisa begitu saja mengganti variabel tanpa memperhitungkan bagaimana “skala” berubah. Faktor penyesuaian skala ini adalah Jacobian dari transformasi, yang mengukur seberapa besar daerah luas berubah saat kita berpindah sistem koordinat. Tanpa Jacobian, probabilitas total tidak akan menjadi 1 lagi.

Ada tiga senjata utama dalam arsenal transformasi gabungan, masing-masing punya kekuatan berbeda. Teknik CDF adalah yang paling universal: hitung $P(U\le u)$ langsung dari definisi, lalu diferensiasikan. Teknik Jacobian paling elegan untuk transformasi satu-ke-satu yang bisa diinverskan. Teknik MGF paling efisien ketika variabel-variabelnya independen dan kita hanya butuh distribusi penjumlahan. Mengetahui kapan menggunakan mana adalah kunci efisiensi di exam CF2.

Section 2 — Definisi Formal

Definisi Matematis

Misalkan $(X,Y)$ adalah vektor variabel acak kontinu dengan PDF gabungan $f_{X,Y}(x,y)$ pada support ${\mathcal{S}}_{XY}$.

Transformasi Satu-ke-Satu: Misalkan $(U,V)=(g_1(X,Y),g_2(X,Y))$ adalah transformasi yang bijektif (one-to-one) dari ${\mathcal{S}}_{XY}$ ke ${\mathcal{S}}_{UV}$, dengan invers $X=h_1(U,V)$, $Y=h_2(U,V)$.

PDF Gabungan Setelah Transformasi (Metode Jacobian):

$$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot |J|,(u,v)\in {\mathcal{S}}_{UV}$$

Jacobian Transformasi:

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial h_1}{\partial u}& \frac{\partial h_1}{\partial v}\\ \frac{\partial h_2}{\partial u}& \frac{\partial h_2}{\partial v}\end{array}\right|=\frac{\partial h_1}{\partial u}\frac{\partial h_2}{\partial v}-\frac{\partial h_1}{\partial v}\frac{\partial h_2}{\partial u}$$

PDF Marginal dari $U$:

$$f_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{U,V}(u,v)dv$$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$(X,Y)$	Vektor variabel acak asal	PDF gabungan $f_{X,Y}(x,y)$
$(U,V)$	Vektor variabel acak baru setelah transformasi	$U=g_1(X,Y)$, $V=g_2(X,Y)$
$g_1,g_2$	Fungsi transformasi dari $(x,y)$ ke $(u,v)$	Harus bijektif untuk teknik Jacobian langsung
$h_1,h_2$	Fungsi invers: $x=h_1(u,v)$, $y=h_2(u,v)$	Diperoleh dengan menginverskan $g_1,g_2$
$J$	Jacobian transformasi invers $\partial (x,y)/\partial (u,v)$	Nilai absolutnya $
${\mathcal{S}}_{XY}$	Support dari $(X,Y)$	Domain di mana $f_{X,Y}(x,y)>0$
${\mathcal{S}}_{UV}$	Support dari $(U,V)$	Bayangan (image) ${\mathcal{S}}_{XY}$ di bawah $g$
$F_U(u)$	CDF dari $U$	$P(U\le u)=P(g_1(X,Y)\le u)$
$M_X(t)$	MGF dari $X$	$E[e^{tX}]$; digunakan untuk teknik MGF

Rumus Utama

$$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$$

Label: Formula Perubahan Variabel (Change of Variables) — PDF gabungan baru adalah PDF lama yang dievaluasi di titik asal (invers transformasi) dikalikan nilai absolut Jacobian.

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\frac{\partial h_1}{\partial u}\frac{\partial h_2}{\partial v}-\frac{\partial h_1}{\partial v}\frac{\partial h_2}{\partial u}$$

Label: Jacobian Invers — selalu hitung Jacobian dari transformasi invers $(u,v)\mapsto (x,y)$, bukan dari transformasi maju $(x,y)\mapsto (u,v)$.

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\cdot \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=1⟹\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|={\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|}^{-1}$$

Label: Hubungan Jacobian Maju dan Invers — jika lebih mudah menghitung Jacobian maju, balik saja nilainya.

$$M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t),\text{jika }X\perp Y$$

Label: Teknik MGF untuk Penjumlahan Independen — MGF penjumlahan variabel independen adalah produk MGF masing-masing; identifikasi distribusi dari bentuk MGF hasilnya.

$$F_U(u)=P(g_1(X,Y)\le u)={\iint }_{\{(x,y):g_1(x,y)\le u\}}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy$$

Label: Teknik CDF — universal untuk semua transformasi; tidak mensyaratkan bijektivitas; diferensiasikan CDF untuk mendapatkan PDF.

Asumsi Eksplisit

• Teknik Jacobian: Transformasi $(g_1,g_2)$ harus one-to-one (bijektif) dari ${\mathcal{S}}_{XY}$ ke ${\mathcal{S}}_{UV}$. Jika tidak bijektif, bagi domain menjadi bagian-bagian bijektif dan jumlahkan kontribusinya.
• Diferensiabilitas: Fungsi $h_1,h_2$ harus memiliki turunan parsial yang kontinu di ${\mathcal{S}}_{UV}$.
• Jacobian non-nol: $J\ne 0$ di seluruh interior ${\mathcal{S}}_{UV}$; jika $J=0$ di suatu titik, transformasi tidak bijektif di titik tersebut.
• Teknik MGF: $X$ dan $Y$ harus independen agar $M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)$.
• Variabel kontinu: Seluruh pembahasan menggunakan PDF (bukan PMF). Untuk kasus diskrit, gunakan PMF gabungan dan penjumlahan langsung.

Section 3 — Jembatan Logika

Dari Definisi ke Rumus

Intuisi di balik rumus Jacobian berasal dari kalkulus multivariabel. Ketika kita menghitung integral lipat dan melakukan substitusi variabel, faktor $|J|$ muncul secara alami untuk memastikan probabilitas total tetap 1. Secara geometris: jika transformasi $(x,y)\mapsto (u,v)$ “meregangkan” suatu daerah kecil $\Delta A_{xy}$ menjadi daerah $\Delta A_{uv}$, maka $|\Delta A_{uv}|\approx |J^{-1}|\cdot |\Delta A_{xy}|$, sehingga $f_{U,V}(u,v)\cdot |\Delta A_{uv}|=f_{X,Y}(x,y)\cdot |\Delta A_{xy}|$ harus terpenuhi (probabilitas di daerah yang sama harus sama). Ini menghasilkan $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot |J|$.

Support dan Domain

• Support ${\mathcal{S}}_{UV}$ adalah bayangan dari ${\mathcal{S}}_{XY}$ di bawah transformasi $(g_1,g_2)$. Menentukan ${\mathcal{S}}_{UV}$ dengan tepat adalah langkah yang paling sering salah di exam.
• Ketika batas integral bergantung pada variabel lain (e.g., $0<y<x$), transformasi dapat mengubah batas secara non-trivial — harus digambar dahulu atau dicek dengan titik uji (test point).
• Untuk teknik CDF dengan $U=X+Y$: region integrasinya adalah $\{(x,y):x+y\le u\}$, yang merupakan setengah bidang di bawah garis $x+y=u$.

Derivasi Formula Jacobian dari Prinsip Pertama:

Kita ingin menghitung $P(U\le u_0,V\le v_0)$ melalui integral:

$$P(U\le u_0,V\le v_0)={\iint }_{\{(u,v):u\le u_0,v\le v_0\}}{f}_{U,V}(u,v)dudv$$

Di sisi lain, probabilitas ini sama dengan:

$$P(U\le u_0,V\le v_0)=P(g_1(X,Y)\le u_0,g_2(X,Y)\le v_0)={\iint }_{\mathcal{R}}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy$$

di mana $\mathcal{R}=\{(x,y):g_1(x,y)\le u_0,g_2(x,y)\le v_0\}$. Dengan substitusi $x=h_1(u,v)$, $y=h_2(u,v)$ dalam integral di atas, teorema perubahan variabel untuk integral lipat memberikan:

$${\iint }_{\mathcal{R}}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy={\iint }_{{\mathcal{R}}^{\prime }}{f}_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

Karena kedua sisi harus sama untuk semua $(u_0,v_0)$, integrandnya harus sama pointwise, menghasilkan:

$$\boxed{f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot |J|}$$

Derivasi Teknik MGF untuk $S=X+Y$ dengan $X\perp Y$:

$$M_S(t)=E[e^{t(X+Y)}]=E[e^{tX}\cdot e^{tY}]\stackrel{X\perp Y}{=}E[e^{tX}]\cdot E[e^{tY}]=M_X(t)\cdot M_Y(t)$$

Langkah ketiga menggunakan properti independensi: jika $X\perp Y$, maka $E[g(X)\cdot h(Y)]=E[g(X)]\cdot E[h(Y)]$ untuk fungsi $g,h$ yang dapat diukur (measurable). Setelah mendapatkan $M_S(t)$, identifikasi distribusi $S$ dari bentuk MGF tersebut menggunakan keunikan MGF.

Dilarang

1. Dilarang menggunakan Jacobian maju langsung $\partial (u,v)/\partial (x,y)$ sebagai faktor pengali tanpa membaliknya. Rumus yang benar menggunakan Jacobian invers $|\partial (x,y)/\partial (u,v)|$.
2. Dilarang menerapkan teknik MGF $M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t)$ tanpa memverifikasi independensi $X$ dan $Y$ terlebih dahulu. Relasi ini hanya berlaku untuk variabel independen.
3. Dilarang melupakan marginalisasi saat hanya membutuhkan distribusi dari satu variabel transformasi ($U$ saja). Setelah mendapatkan $f_{U,V}$, wajib integrasikan terhadap $v$ untuk mendapatkan $f_U(u)$.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak kontinu independen dengan distribusi Eksponensial berparameter $\lambda =1$, sehingga $f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}{e}^{-y}$ untuk $x>0$, $y>0$. Definisikan transformasi $U=X+Y$ dan $V=X-Y$. Tentukan PDF gabungan $f_{U,V}(u,v)$ dan PDF marginal $f_U(u)$ dari $U$.

Solusi Soal A

1. Identifikasi Variabel

• $f_{X,Y}(x,y)=e^{-x-y}$, support: $x>0$, $y>0$
• Transformasi maju: $u=x+y$, $v=x-y$
• Cari: $f_{U,V}(u,v)$ dan $f_U(u)$

2. Identifikasi Distribusi / Model

• $(X,Y)$ joint Eksponensial independen; setelah transformasi, $U=X+Y\sim \text{Gamma}(2,1)$ (akan diverifikasi via marginalisasi).
• Gunakan teknik Jacobian karena transformasi linear dan bijektif.

3. Setup Persamaan (Inversikan transformasi)

Dari $u=x+y$ dan $v=x-y$:

$$x=h_1(u,v)=\frac{u+v}{2},y=h_2(u,v)=\frac{u-v}{2}$$

Jacobian invers:

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\partial h_1/\partial u& \partial h_1/\partial v\\ \partial h_2/\partial u& \partial h_2/\partial v\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right|$$

4. Eksekusi Aljabar

$$J=\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Sehingga $|J|=\frac{1}{2}$.

Tentukan support $(u,v)$: syarat $x>0$ dan $y>0$ berarti:

$$\frac{u+v}{2}>0⟹u+v>0;\frac{u-v}{2}>0⟹u>v$$

Selain itu $u=x+y>0$. Jadi support: $u>0$ dan $-u<v<u$.

PDF gabungan:

$$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\left(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=e^{-(u+v)/2}\cdot e^{-(u-v)/2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{e}^{-u}$$

untuk $u>0$, $-u<v<u$.

PDF marginal $f_U(u)$: integrasikan terhadap $v$:

$$f_U(u)={\int }_{-u}^u\frac{1}{2}{e}^{-u}dv=\frac{1}{2}{e}^{-u}\cdot 2u=u{e}^{-u},u>0$$

Ini adalah PDF $\text{Gamma}(2,1)$, terkonfirmasi.

5. Verification

Cek normalisasi $f_U(u)$:

$${\int }_0^{\infty }u{e}^{-u}du=\Gamma (2)=1!=1✓$$

Cek marginal dari $f_{U,V}$: $f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2}{e}^{-u}$ terpisah dalam $u$ dan $v$ (faktanya $\frac{1}{2}$ adalah “PDF seragam dalam $v$ pada $(-u,u)$”), dan integrasinya menghasilkan $f_U(u)$ yang benar $✓$.

Exam Tips — Soal A

• Target waktu: 8–10 menit.
• Common trap: Salah menentukan batas $v$. Karena $-u<v<u$, batas bervariasi tergantung $u$ — bukan konstan. Selalu gambar region $(x,y)$ lalu peta ke $(u,v)$.
• Shortcut: Untuk $U=X+Y$ di mana $X,Y\stackrel{iid}{\sim }\text{Exp}(1)$, langsung gunakan teknik MGF: $M_U(t)={\left(\frac{1}{1-t}\right)}^2=M_{\text{Gamma}(2,1)}(t)$, sehingga $U\sim \text{Gamma}(2,1)$ tanpa perlu menghitung Jacobian.

Soal B — Exam-Typical

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak kontinu independen dengan $X\sim U(0,1)$ dan $Y\sim U(0,1)$. Tentukan PDF dari $U=-\ln X-\ln Y$. Sebutkan distribusi apa yang dimiliki $U$.

Solusi Soal B

1. Identifikasi Variabel

• $f_X(x)=1$ untuk $0<x<1$; $f_Y(y)=1$ untuk $0<y<1$
• $f_{X,Y}(x,y)=1$ untuk $0<x<1$, $0<y<1$ (independen)
• Cari: distribusi $U=-\ln X-\ln Y$

2. Identifikasi Distribusi / Model

• Gunakan teknik MGF. Karena $X\perp Y$, $M_U(t)=M_{-\ln X}(t)\cdot M_{-\ln Y}(t)$.
• Alternatif: gunakan transformasi bertahap — definisikan $W_1=-\ln X$ dan $W_2=-\ln Y$, identifikasi distribusinya, lalu gunakan teknik konvolusi/MGF.

3. Setup Persamaan

Pertama, tentukan distribusi $W=-\ln X$ di mana $X\sim U(0,1)$:

$$F_W(w)=P(-\ln X\le w)=P(X\ge e^{-w})=1-e^{-w},w>0$$

Sehingga $W=-\ln X\sim \text{Exp}(1)$. Demikian pula $-\ln Y\sim \text{Exp}(1)$.

4. Eksekusi Aljabar

Karena $X\perp Y$, maka $W_1=-\ln X\perp W_2=-\ln Y$, keduanya $\sim \text{Exp}(1)$.

MGF dari $W_1\sim \text{Exp}(1)$:

$$M_{W_1}(t)=\frac{1}{1-t},t<1$$

MGF dari $U=W_1+W_2$ (menggunakan independensi):

$$M_U(t)=M_{W_1}(t)\cdot M_{W_2}(t)=\frac{1}{1-t}\cdot \frac{1}{1-t}=\frac{1}{(1-t{)}^2},t<1$$

MGF ini dikenali sebagai MGF distribusi $\text{Gamma}(\alpha ,\beta )$ dengan $\alpha =2$, $\beta =1$ (atau secara setara, ${\chi }^2(4)$ dibagi 2). Dengan keunikan MGF:

$$U=-\ln X-\ln Y\sim \text{Gamma}(2,1)$$

PDF-nya:

$$f_U(u)=\frac{u^{2-1}{e}^{-u/1}}{\Gamma (2)\cdot 1^2}=u{e}^{-u},u>0$$

5. Verification

$E[U]=\alpha \beta =2\cdot 1=2$. Cek langsung: $E[-\ln X]=-{\int }_0^1\ln xdx=1$, sehingga $E[U]=1+1=2$ $✓$.

Exam Tips — Soal B

• Target waktu: 10–12 menit.
• Common trap: Mencoba langsung menghitung Jacobian dari $U=-\ln X-\ln Y$ sebagai transformasi satu variabel tanpa memperkenalkan variabel bantu $V$ — ini tidak valid karena kita butuh dua persamaan untuk dua variabel.
• Strategi: Transformasi bertahap ($X\to W_1$, $Y\to W_2$, lalu $W_1+W_2$) jauh lebih efisien daripada Jacobian langsung. Kenali pola $-\ln (\text{Uniform}(0,1))\sim \text{Exp}(1)$ — ini sangat sering muncul di CF2.
• Kunci MGF Gamma: $M_{\Gamma (\alpha ,\beta )}(t)=(1-\beta t{)}^{-\alpha }$ untuk $t<1/\beta$.

Soal C — Challenging

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak kontinu dengan PDF gabungan:

$$f_{X,Y}(x,y)=2,0<y<x<1$$

Tentukan PDF dari $U=X/Y$ menggunakan teknik CDF. Tentukan pula $E[U]$ jika ada.

Solusi Soal C

1. Identifikasi Variabel

• $f_{X,Y}(x,y)=2$ pada region segitiga $\mathcal{S}:0<y<x<1$
• $U=X/Y$; karena $0<y<x<1$, maka $U=X/Y>1$
• Cari: $f_U(u)$ dan $E[U]$

2. Identifikasi Distribusi / Model

• Gunakan teknik CDF: hitung $F_U(u)=P(X/Y\le u)$ untuk $u>1$, lalu diferensiasikan.
• $(X,Y)$ tidak independen (support bergantung satu sama lain), sehingga teknik MGF tidak berlaku.

3. Setup Persamaan

Untuk $u>1$:

$$F_U(u)=P\left(\frac{X}{Y}\le u\right)=P(X\le uY)$$

Region integrasi: irisan dari $\{X\le uY\}$ dengan support $\mathcal{S}=\{0<y<x<1\}$.

4. Eksekusi Aljabar

Di dalam $\mathcal{S}$, $X\le uY$ berarti $x\le uy$. Perlu kasus berdasarkan nilai $u$:

Kasus 1: $1<u\le 1$ — sudah tercakup, perlu $u$ lebih besar.

Perhatikan: di $\mathcal{S}$, $x/y>1$ selalu, jadi $U>1$. Batas atas $U$: maksimum $x/y$ terjadi saat $y\to 0^{+}$, $x\to 1$, jadi $U$ bisa tak hingga. Jadi $U\in (1,\infty )$.

Untuk menghitung $P(X\le uY)$ di region $\mathcal{S}$ dengan $u>1$:

• Garis $x=uy$ memotong region $\mathcal{S}$.
• Di $\mathcal{S}$, $0<y<x<1$. Jika $u>1$, garis $x=uy$ memiliki kemiringan $>1$.
• Interseksi garis $x=uy$ dengan $x=1$: $y=1/u$. Interseksi dengan $x=y$: $y(u-1)=0⟹y=0$.

Region $\{(x,y)\in \mathcal{S}:x\le uy\}$:

Untuk $0<y<1/u$: batasan $x$ dari $y$ hingga $uy$ (karena $uy<1$). Untuk $1/u\le y<1$: tidak mungkin di $\mathcal{S}$ karena $y<x<1$ dan $y\ge 1/u>0$.

Tunggu — perlu lebih hati-hati. Di $\mathcal{S}$: $0<y<x<1$. Untuk $x\le uy$:

Integrasikan atas $y$ dari 0 ke $1/u$, lalu $x$ dari $y$ ke $uy$:

$$F_U(u)={\int }_0^{1/u}{\int }_y^{uy}2dxdy={\int }_0^{1/u}2(uy-y)dy=2(u-1){\int }_0^{1/u}ydy$$ $$=2(u-1)\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{u^2}=\frac{u-1}{u^2}$$

Diferensiasikan untuk mendapat PDF:

$$f_U(u)=\frac{d}{du}\left[\frac{u-1}{u^2}\right]=\frac{d}{du}\left[\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right]=-\frac{1}{u^2}+\frac{2}{u^3}=\frac{2-u}{u^3}$$

Tunggu — cek tanda: untuk $u>1$, perlu $f_U(u)\ge 0$. Saat $u>2$, $2-u<0$ sehingga $f_U(u)<0$ — ini tidak valid. Ada kesalahan region.

Koreksi: Untuk $u\ge 1$, ketika $uy\ge 1$ (yaitu $y\ge 1/u$), batas atas $x$ menjadi 1 (bukan $uy$). Bagi menjadi dua bagian berdasarkan apakah $uy$ melewati $x=1$:

• Untuk $1<u\le$ semua nilai: perlu memeriksa apakah $1/u<1$. Ya, selalu, karena $u>1$.

Sebenarnya untuk $0<y<1/u$: $uy<1$, jadi $x$ dari $y$ ke $uy$. Untuk $1/u\le y<1$: $uy\ge 1$, jadi kondisi $x\le uy$ dengan $x<1$ otomatis terpenuhi untuk semua $x\in (y,1)$.

$$F_U(u)={\int }_0^{1/u}{\int }_y^{uy}2dxdy+{\int }_{1/u}^1{\int }_y^{1}2dxdy$$

Bagian pertama:

$${\int }_0^{1/u}2(uy-y)dy=2(u-1)\cdot \frac{1}{2u^2}=\frac{u-1}{u^2}$$

Bagian kedua (ini adalah $P(X/Y>1,Y>1/u)$ dalam support):

$${\int }_{1/u}^{1}2(1-y)dy=2{\left[y-\frac{y^2}{2}\right]}_{1/u}^1=2\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{u}+\frac{1}{2u^2}\right]=1-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}$$

Jadi:

$$F_U(u)=\frac{u-1}{u^2}+1-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}=1-\frac{2}{u}+\frac{1}{u^2}+\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}=1-\frac{1}{u}$$

Diferensiasikan:

$$f_U(u)=\frac{d}{du}\left(1-\frac{1}{u}\right)=\frac{1}{u^2},u>1$$

Ini adalah distribusi Pareto dengan $\alpha =1$, $\theta =1$.

5. Verification

Normalisasi: ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{u^2}du={\left[-\frac{1}{u}\right]}_1^{\infty }=0-(-1)=1$ $✓$.

$E[U]={\int }_1^{\infty }u\cdot \frac{1}{u^2}du={\int }_1^{\infty }\frac{1}{u}du=\infty$.

Jadi $E[U]$ tidak ada (divergen). Ini masuk akal karena distribusi Pareto dengan $\alpha =1$ tidak memiliki mean.

Exam Tips — Soal C

• Target waktu: 15–18 menit.
• Common trap terbesar: Melupakan pembagian region dalam teknik CDF. Ketika $uy$ bisa melampaui batas support ($x<1$), region integrasi harus dibagi dua — kasus ini sangat sering dijebak di soal CF2.
• Common trap kedua: Menyimpulkan $E[U]$ ada tanpa memeriksa konvergensi integral. Jika PDF bersifat $\sim 1/u^2$ untuk $u$ besar, $E[U]$ divergen.
• Strategi: Setelah mendapat $F_U(u)$, selalu verifikasi ${\lim }_{u\to \infty }{F}_U(u)=1$ sebelum diferensiasi. Jika tidak 1, ada kesalahan region.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Verifikasi PDF Gabungan Hasil Transformasi

Setelah mendapatkan $f_{U,V}(u,v)$, wajib periksa:

1. $f_{U,V}(u,v)\ge 0$ di seluruh support ${\mathcal{S}}_{UV}$.
2. ${\iint }_{{\mathcal{S}}_{UV}}{f}_{U,V}(u,v)dudv=1$ (normalisasi terpenuhi).

Verifikasi Support

1. Substitusikan titik sudut ${\mathcal{S}}_{XY}$ ke dalam transformasi $(g_1,g_2)$ untuk mendapatkan sudut-sudut ${\mathcal{S}}_{UV}$.
2. Substitusikan satu titik interior ke dalam invers transformasi $(h_1,h_2)$ untuk memverifikasi bahwa titik tersebut memang berada di dalam ${\mathcal{S}}_{XY}$.

Verifikasi Jacobian

1. Hitung Jacobian maju $J_{\text{maju}}=\partial (u,v)/\partial (x,y)$ dan verifikasi $|J|=|J_{\text{maju}}{|}^{-1}$.
2. Untuk transformasi linear $(u,v)=A(x,y{)}^T$, Jacobian adalah $|\det A{|}^{-1}$ — lebih mudah dihitung via determinan matriks.

Verifikasi Teknik MGF

1. Pastikan MGF yang diperoleh $M_U(t)$ memiliki domain valid yang non-trivial ($t<c$ untuk suatu $c>0$).
2. Cocokkan bentuk MGF dengan bentuk standar dari distribusi-distribusi di silabus CF2 (Gamma, Normal, dll.).

Metode Alternatif

Untuk $U=X+Y$ dengan $X,Y$ kontinu independen, ada tiga metode yang valid:

Metode 1 — Konvolusi (Marginalisasi dari Jacobian):

$$f_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(u-y)f_Y(y)dy$$

Berlaku karena $X\perp Y$; ini adalah rumus konvolusi PDF.

Metode 2 — Teknik MGF:

$$M_U(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t)$$

Efisien jika distribusi hasil penjumlahan dikenali dari bentuk MGF-nya.

Metode 3 — Teknik CDF:

$$F_U(u)={\iint }_{x+y\le u}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy,f_U(u)=\frac{d}{du}{F}_U(u)$$

Universal, berlaku bahkan untuk $X,Y$ yang tidak independen.

Section 6 — Visualisasi Mental

Diagram Region Support — Transformasi Jacobian:

Bayangkan bidang $xy$ dengan region support ${\mathcal{S}}_{XY}$ (misalnya persegi $[0,1{]}^2$ atau segitiga $0<y<x<1$). Transformasi $(u,v)=g(x,y)$ “membengkokkan” atau “meregangkan” region ini menjadi region ${\mathcal{S}}_{UV}$ baru di bidang $uv$. Sumbu $u$ dan sumbu $v$ tidak harus saling tegak lurus dengan sumbu asal — mereka bisa berotasi atau berskala berbeda.

Di setiap titik $(u,v)\in {\mathcal{S}}_{UV}$, faktor $|J|$ mengukur rasio luas daerah kecil di $uv$ terhadap luas daerah yang berkorespondensi di $xy$. Jika $|J|>1$, transformasi meregangkan daerah (probabilitas “encer” di $(u,v)$, jadi PDF lebih kecil). Jika $|J|<1$, daerah dipadatkan (probabilitas “pekat”, PDF lebih besar).

Diagram Teknik CDF — Region Integrasi:

Untuk $U=X/Y$, region $\{X/Y\le u\}$ adalah $\{X\le uY\}$ — yakni region di bawah garis $x=uy$ yang melewati asal dengan kemiringan $u$. Saat $u$ meningkat, garis berotasi ke atas, “menyapu” lebih banyak dari support. Kumulatif probabilitas $F_U(u)$ adalah luas yang tersapu (terbobot oleh PDF).

Hubungan Visual ↔ Rumus

Faktor Jacobian $|J|$ berkorespondensi langsung dengan rasio luas:

$$|J|=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|⟷\frac{d(\text{Luas di }xy)}{d(\text{Luas di }uv)}$$

Region integrasi dalam teknik CDF berkorespondensi dengan kurva level $g(x,y)=u$ yang membagi support:

$$F_U(u)={\iint }_{\{g(x,y)\le u\}}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy⟷\text{luas di bawah kurva level }g=u$$

Section 7 — Jebakan Umum

Kesalahan Parametrisasi

Kesalahan 1 — Jacobian Maju vs Invers: Menggunakan $J_{\text{maju}}=\partial (u,v)/\partial (x,y)$ sebagai faktor pengali langsung, padahal rumusnya memerlukan Jacobian invers $|J|=|\partial (x,y)/\partial (u,v)|$.

Salah: $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1,h_2)\cdot |\partial (u,v)/\partial (x,y)|$

Benar: $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1,h_2)\cdot |\partial (x,y)/\partial (u,v)|=f_{X,Y}(h_1,h_2)\cdot |J_{\text{maju}}{|}^{-1}$

Kesalahan 2 — MGF Gamma: Parametrisasi Gamma dalam MGF bisa membingungkan. $M_{\Gamma (\alpha ,\beta )}(t)=(1-\beta t{)}^{-\alpha }$ menggunakan $\beta$ sebagai parameter skala (scale), bukan laju (rate). Jika buku menggunakan $\beta$ sebagai rate ($f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}$), maka $M(t)={\left(\frac{\beta }{\beta -t}\right)}^{\alpha }={\left(1-\frac{t}{\beta }\right)}^{-\alpha }$. Selalu periksa parametrisasi buku.

Kesalahan Konseptual

1. Menerapkan teknik Jacobian untuk transformasi non-bijektif tanpa pembagian domain. Contoh: $U=X^2$ tidak bijektif ($x$ dan $-x$ memberikan $u$ yang sama). Wajib bagi domain ke $x>0$ dan $x<0$ lalu jumlahkan.
2. Melupakan marginalisasi. Setelah mendapat $f_{U,V}(u,v)$, jika soal meminta $f_U(u)$ saja, harus integrasikan terhadap $v$. Langsung menjawab $f_{U,V}(u,v)$ sebagai $f_U(u)$ adalah kesalahan serius.
3. Mengasumsikan $X\perp Y$ dari soal tanpa verifikasi. Jika joint PDF $f_{X,Y}(x,y)\ne f_X(x)\cdot f_Y(y)$, atau support joint bergantung pada kedua variabel, maka $X$ dan $Y$ tidak independen dan teknik MGF tidak berlaku.
4. Support $(U,V)$ salah karena tidak mempertimbangkan constraint. Support ${\mathcal{S}}_{UV}$ tidak selalu kotak (rectangular) meskipun ${\mathcal{S}}_{XY}$ kotak. Gambar region selalu.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Tentukan distribusi $U=X+Y$” — soal bisa meminta PDF lengkap, atau hanya distribusi (nama + parameter). Teknik MGF lebih efisien jika hanya perlu mengidentifikasi distribusi.
• “Tentukan PDF dari $U=\max (X,Y)$” — ini bukan transformasi Jacobian biasa; gunakan teknik CDF: $F_U(u)=P(\max (X,Y)\le u)=F_X(u)\cdot F_Y(u)$ jika $X\perp Y$.
• “Tentukan distribusi dari $Z=X/Y$” — jika tidak ada informasi independensi, jangan langsung gunakan rumus $f_Z(z)=\int |y|f_{X,Y}(zy,y)dy$ (rumus ini memerlukan $X\perp Y$).

Red Flags

• Support triangular atau non-rectangular: Harus gambar region terlebih dahulu; batas integrasi sangat mungkin bergantung variabel lain — potensi kesalahan batas besar.
• Transformasi rasio $U=X/Y$: Selalu cek apakah $E[U]$ ada; distribusi Cauchy ($X,Y\sim N(0,1)$ independen) dan varian Pareto sering tidak memiliki mean.
• Kata “tentukan distribusi” tanpa “hitung PDF”: Coba teknik MGF dulu — jauh lebih cepat dari Jacobian.
• PDF hasil transformasi bernilai negatif: Ini pasti ada kesalahan di penentuan support ${\mathcal{S}}_{UV}$ atau di pembagian region; jangan lanjut sebelum diperbaiki.
• Jacobian = 0: Transformasi tidak bijektif di titik tersebut; perlu analisis lebih lanjut (biasanya titik batas).

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Must-Remember

1. Formula Jacobian (transformasi bijektif): $$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$$
2. Jacobian $2\times 2$ (eksplisit): $$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\left|\frac{\partial h_1}{\partial u}\frac{\partial h_2}{\partial v}-\frac{\partial h_1}{\partial v}\frac{\partial h_2}{\partial u}\right|$$
3. Teknik MGF untuk penjumlahan independen: $$M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t),X\perp Y$$
4. Teknik CDF (universal): $$F_U(u)={\iint }_{\{g(x,y)\le u\}}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy,f_U(u)=\frac{d}{du}{F}_U(u)$$
5. PDF marginal setelah transformasi: $$f_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{U,V}(u,v)dv$$

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “tentukan distribusi dari $g(X,Y)$”, “PDF dari $X+Y$, $X-Y$, $XY$, $X/Y$”, “transformasi variabel acak”, “distribusi penjumlahan”, “ubah variabel”.
• Tipe skenario soal:
  • Diberikan joint PDF $(X,Y)$, cari distribusi $U=g(X,Y)$ (satu variabel baru).
  • Diberikan joint PDF, cari joint PDF baru $(U,V)=(g_1(X,Y),g_2(X,Y))$ lalu marginalisasikan.
  • Variabel $X,Y$ independen dengan distribusi dikenal, cari distribusi $X+Y$ via MGF.
  • Derivasi distribusi sampel (e.g., $\bar{X}$, $S^2$) — ini terhubung ke 4.2 Distribusi Sampel.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Teknik Jacobian tidak boleh digunakan jika transformasi tidak bijektif tanpa pembagian domain terlebih dahulu.
• Teknik MGF tidak boleh digunakan untuk memperoleh PDF secara eksplisit jika bentuk MGF hasilnya tidak dikenali sebagai distribusi standar.
• Jika variabel diskrit: Tidak ada Jacobian; gunakan penjumlahan PMF langsung atau PGF untuk penjumlahan variabel independen diskrit (lihat 2.3 Fungsi Pembangkit).
• Jika hanya butuh momen (bukan distribusi penuh): gunakan linieritas nilai harapan dan sifat kovarians — jauh lebih cepat daripada menghitung PDF transformasi.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Cari distribusi U = g(X,Y)"] --> B["Apakah X dan Y independen?"]
    B -->|"Ya"| C["Apakah U = X + Y?"]
    B -->|"Tidak"| G["Gunakan Teknik CDF<br>atau Jacobian"]
    C -->|"Ya"| D["Coba Teknik MGF<br>M_U(t) = M_X(t) x M_Y(t)"]
    C -->|"Tidak (rasio, produk, dll)"| E["Perlu variabel bantu V<br>Gunakan Jacobian"]
    D --> D1["Apakah bentuk MGF dikenali?"]
    D1 -->|"Ya"| D2["Identifikasi distribusi langsung"]
    D1 -->|"Tidak"| G
    E --> F["Definisikan V = h(X,Y)<br>agar transformasi bijektif"]
    F --> F1["Hitung invers: x = h1(u,v), y = h2(u,v)"]
    F1 --> F2["Hitung |J| = |det matriks Jacobian invers|"]
    F2 --> F3["f_UV = f_XY(h1,h2) x |J|<br>lalu marginalisasi ke f_U jika perlu"]
    G --> G1["Hitung F_U(u) = P(g(X,Y) <= u)<br>sebagai integral double"]
    G1 --> G2["Gambar region integrasi!<br>Diferensiasikan untuk f_U(u)"]

---

Follow-up Options

1. “Berikan contoh soal transformasi non-bijektif dengan pembagian domain di topik 3.8”
2. “Jelaskan hubungan 3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan dengan 4.2 Distribusi Sampel (distribusi ${\chi }^2$, $t$, $F$)”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk teknik Jacobian dan CDF gabungan”

📖 Ref: Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.1–2.6; Miller et al. (2014) Bab 3.5–3.8, 4.6–4.9 | 🗓️ 2026-02-21 | CF2 Transformasi Jacobian Multivariat CDF MGF