2025-08-CF2-Pembahasan

No. 1

PT Asuransi Gemilang Sejahtera memiliki suatu produk asuransi kendaraan bermotor yang memberikan perlindungan kepada pengendara hingga usia 65 tahun. Seorang analis aktuaria melakukan studi pengalaman mengenai peluang kecelakaan dalam suatu tahun kalender dan diperoleh statistik sebagai berikut:

Rentang Usia Pengendara	Peluang Kecelakaan	Porsi Pengendara
$18$-$20$	$0,06$	$0,08$
$21$-$30$	$0,03$	$0,15$
$31$-$50$	$0,02$	$0,49$
$51$-$65$	$0,04$	$0,28$

Seorang pengendara yang mengalami suatu kecelakaan diambil secara acak dari perusahaan tersebut. Tentukan peluang bahwa pengendara tersebut berada pada rentang usia 18-20! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,13$
b. $0,16$
c. $0,19$
d. $0,23$
e. $0,40$

Jawaban No. 1

$0,16$ (b)

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

Rumus
Teorema Bayes: $P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{{\sum }_{j}P(B\mid A_j)P(A_j)}$ Hukum Probabilitas Total: $P(B)={\sum }_{j}P(B\mid A_j)P(A_j)$

Diketahui:

• $A_1=\{18\text{-}20\}$, $P(A_1)=0,08$, $P(\text{Kecelakaan}\mid A_1)=0,06$

• $A_2=\{21\text{-}30\}$, $P(A_2)=0,15$, $P(\text{Kecelakaan}\mid A_2)=0,03$

• $A_3=\{31\text{-}50\}$, $P(A_3)=0,49$, $P(\text{Kecelakaan}\mid A_3)=0,02$

• $A_4=\{51\text{-}65\}$, $P(A_4)=0,28$, $P(\text{Kecelakaan}\mid A_4)=0,04$

• Target: $P(A_1\mid \text{Kecelakaan})$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung $P(\text{Kecelakaan})$ dengan Hukum Probabilitas Total

$P(\text{Kecelakaan})=(0,06)(0,08)+(0,03)(0,15)+(0,02)(0,49)+(0,04)(0,28)$ $=0,0048+0,0045+0,0098+0,0112=0,0303$

Langkah 2: Terapkan Teorema Bayes

$P(A_1\mid \text{Kecelakaan})=\frac{P(\text{Kecelakaan}\mid A_1)P(A_1)}{P(\text{Kecelakaan})}=\frac{(0,06)(0,08)}{0,0303}=\frac{0,0048}{0,0303}\approx 0,158$

Dibulatkan: $0,16$.

Hasil Akhir: $0,16$ (b)

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menjawab langsung $P(\text{Kecelakaan}\mid A_1)=0,06$ — ini bukan yang ditanya; soal membalik arah kondisi.
• Tidak menghitung $P(\text{Kecelakaan})$ terlebih dahulu sebagai penyebut Bayes.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Porsi pengendara” adalah probabilitas prior $P(A_i)$, bukan bobot tambahan — harus digunakan langsung dalam formula.

Red Flags

• Jika soal menyebut “diambil secara acak dari yang mengalami [kejadian B]” → ini selalu Teorema Bayes, hitung $P(B)$ dulu.
• Jika $\sum P(A_i)\ne 1$ → cek kembali tabel porsi; di sini $0,08+0,15+0,49+0,28=1$ ✓

---

No. 2

Wadah A memuat 10 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah dan 6 bola berwarna biru. Wadah B memuat 16 bola berwarna merah dan $x$ bola berwarna biru. Satu bola diambil dari masing-masing wadah. Peluang kedua bola tersebut berwarna sama sebesar $0,44$. Tentukan banyaknya bola yang terdapat pada Wadah B!

a. $4$
b. $20$
c. $24$
d. $44$
e. $64$

Jawaban No. 2

$20$ (b)

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.2

Rumus
Karena pengambilan dari Wadah A dan B saling bebas: $P(\text{sama warna})=P(\text{keduanya merah})+P(\text{keduanya biru})$ $=P(M_A)P(M_B)+P(B_A)P(B_B)$

Diketahui:

• Wadah A: 4 merah, 6 biru, total 10 bola

• Wadah B: 16 merah, $x$ biru, total $(16+x)$ bola

• $P(\text{sama warna})=0,44$

• Target: total bola Wadah B $=16+x$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Susun persamaan probabilitas

$P(\text{sama})=\frac{4}{10}\cdot \frac{16}{16+x}+\frac{6}{10}\cdot \frac{x}{16+x}=0,44$

Langkah 2: Sederhanakan

$\frac{64+6x}{10(16+x)}=0,44$ $64+6x=4,4(16+x)$ $64+6x=70,4+4,4x$ $1,6x=6,4⟹x=4$

Langkah 3: Hitung total bola Wadah B

$\text{Total}=16+4=20$

Hasil Akhir: $20$ (b)

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menjawab $x=4$ tanpa menambahkan 16 — soal menanyakan total bola, bukan jumlah bola biru saja.
• Lupa menyertakan kasus “keduanya biru” dalam persamaan probabilitas.

Kesalahan Interpretasi Soal

• ”$x$ bola berwarna biru” artinya total Wadah B adalah $16+x$, bukan $x$.

Red Flags

• Jika soal menanyakan “banyaknya bola” → pastikan menjawab total, bukan satu warna saja.

---

No. 3

Suatu kelas terdiri dari 8 laki-laki dan 7 perempuan. Seorang guru mengambil 3 siswa secara acak tanpa pemulihan. Hitunglah peluang banyaknya laki-laki yang terpilih melebihi banyaknya perempuan yang terpilih!

a. $\frac{512}{3375}$
b. $\frac{28}{65}$
c. $\frac{8}{15}$
d. $\frac{1856}{3375}$
e. $\frac{36}{65}$

Jawaban No. 3

(e). $\frac{36}{65}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.3

Rumus Prinsip Probabilitas Klasik: $P(A)=\frac{\text{Jumlah cara favorable}}{\text{Total cara pengambilan}}$ Kombinasi (pengambilan tanpa urutan, tanpa pengembalian): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ Aturan Perkalian: Jika pemilihan $k$ laki-laki dari $n_L$ dan $m$ perempuan dari $n_P$ dilakukan secara bersamaan: $\text{Cara}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_L}{k}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_P}{m}\right)$

Diketahui:

• 8 laki-laki (L), 7 perempuan (P), total 15 siswa

• Diambil 3 siswa tanpa pemulihan (tanpa pengembalian), urutan tidak penting

• Target: $P(\text{jumlah L}>\text{jumlah P})$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Identifikasi Semua Kemungkinan Komposisi 3 Siswa

Jika diambil 3 siswa, komposisi yang mungkin adalah:

Komposisi	L > P?
0L, 3P	Tidak ($0<3$)
1L, 2P	Tidak ($1<2$)
2L, 1P	Ya ($2>1$) ✓
3L, 0P	Ya ($3>0$) ✓

Jadi kasus favorable: 2L 1P dan 3L 0P.

Langkah 2: Hitung Total Cara Pengambilan

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{3}\right)=\frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1}=\frac{2730}{6}=455$

Langkah 3: Hitung Cara Favorable untuk Kasus 2L, 1P

Pilih 2 laki-laki dari 8, dan 1 perempuan dari 7: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)=\frac{8\times 7}{2}\times 7=28\times 7=196$

Langkah 4: Hitung Cara Favorable untuk Kasus 3L, 0P

Pilih 3 laki-laki dari 8, dan 0 perempuan dari 7: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0}\right)=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}\times 1=56\times 1=56$

Langkah 5: Jumlahkan dan Hitung Probabilitas

Total cara favorable: $196+56=252$

$P(\text{L}>\text{P})=\frac{252}{455}$

Sederhanakan: $\gcd (252,455)$. Coba: $252=7\times 36$ dan $455=7\times 65$, sehingga $\gcd =7$: $\frac{252}{455}=\frac{252÷7}{455÷7}=\frac{36}{65}$

Hasil Akhir: (e). $\frac{36}{65}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menggunakan permutasi alih-alih kombinasi: karena pengambilan 3 siswa tidak mempertimbangkan urutan (siapa diambil pertama, kedua, dst.), rumus yang tepat adalah $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$, bukan $P(n,k)=n!/(n-k)!$.
• Melewatkan salah satu kasus favorable: hanya menghitung 2L1P atau hanya 3L0P — keduanya harus dijumlahkan.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Melebihi” berarti $>$ (strict inequality), bukan $\ge$. Kasus 1L2P (laki-laki = 1, perempuan = 2) tidak memenuhi karena $1\ngtr 2$.
• “Tanpa pemulihan” berarti setelah seorang siswa diambil, ia tidak dikembalikan → gunakan kombinasi hipergeometrik $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_L}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_P}{m}\right)$, bukan Binomial $p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Red Flags

• Jika soal menyebut “tanpa pemulihan/pengembalian” dengan populasi terbatas → gunakan kombinasi, bukan rumus Binomial (yang mengasumsikan pengambilan dengan pengembalian atau populasi tak hingga).
• Selalu buat tabel komposisi yang mungkin terlebih dahulu, lalu tandai mana yang memenuhi kondisi soal.

---

No. 4

Misal $X$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{10},& \text{untuk }-2\le x\le 4\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

Hitunglah nilai harapan dari $X$!

a. $\frac{1}{5}$
b. $\frac{3}{5}$
c. $1$
d. $\frac{28}{15}$
e. $\frac{12}{5}$

Jawaban No. 4

$\frac{28}{15}$ (d)

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 4

Rumus
$E[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$ Untuk fungsi nilai mutlak: $|x|=-x$ jika $x<0$, dan $|x|=x$ jika $x\ge 0$.

Diketahui:

• $f(x)=\frac{|x|}{10}$ untuk $-2\le x\le 4$, support $[-2,4]$

• Target: $E[X]$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Verifikasi PDF valid

${\int }_{-2}^0\frac{-x}{10}dx+{\int }_0^4\frac{x}{10}dx=\frac{1}{10}{\left[\frac{-x^2}{2}\right]}_{-2}^0+\frac{1}{10}{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4$ $=\frac{1}{10}(2)+\frac{1}{10}(8)=\frac{2}{10}+\frac{8}{10}=1✓$

Langkah 2: Hitung $E[X]$ dengan memecah integral di $x=0$

$E[X]={\int }_{-2}^{0}x\cdot \frac{-x}{10}dx+{\int }_0^{4}x\cdot \frac{x}{10}dx$

Bagian pertama ($x\in [-2,0]$): ${\int }_{-2}^0\frac{-x^2}{10}dx=\frac{-1}{10}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^0=\frac{-1}{10}\left(0-\frac{-8}{3}\right)=\frac{-1}{10}\cdot \frac{8}{3}=\frac{-8}{30}$

Bagian kedua ($x\in [0,4]$): ${\int }_0^4\frac{x^2}{10}dx=\frac{1}{10}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=\frac{1}{10}\cdot \frac{64}{3}=\frac{64}{30}$

Langkah 3: Jumlahkan

$E[X]=\frac{-8}{30}+\frac{64}{30}=\frac{56}{30}=\frac{28}{15}$

Hasil Akhir: $\frac{28}{15}$ (d)

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Tidak memecah integral di titik $x=0$ — integrasi $|x|$ harus ditangani secara terpisah untuk bagian negatif dan positif.
• Langsung mengintegralkan $x\cdot \frac{x}{10}$ di seluruh $[-2,4]$ tanpa menangani tanda negatif — ini salah karena $|x|\ne x$ untuk $x<0$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Mengira $f(x)=x/10$ di seluruh support (mengabaikan nilai mutlak) — padahal $f(-1)=1/10$, bukan $-1/10$.

Red Flags

• Jika PDF mengandung $|x|$ atau $|x-c|$ → selalu pecah integral di titik kritis di mana ekspresi di dalam $|\cdot |$ bernilai nol.

---

No. 5

Suatu tim bisbol telah menjadwalkan pembukaan gim pada 1 April. Jika hari hujan pada 1 April, permainan akan ditunda dan akan dijadwalkan pada keesokan harinya jika hari tidak hujan. Tim tersebut membeli asuransi yang memberikan penggantian kerugian ketika terjadi hujan. Polis tersebut akan memberikan manfaat sebesar 1 juta untuk setiap harinya, hingga dua hari, ketika pembukaan gim ditunda. Perusahaan asuransi menentukan bahwa banyaknya jumlah hari hujan yang dimulai 1 April berdistribusi Poisson dengan rataan $0,6$. Berapa deviasi standar dari besarnya manfaat asuransi yang Perusahaan asuransi harus bayarkan? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $668$ ribu
b. $699$ ribu
c. $775$ ribu
d. $817$ ribu
e. $904$ ribu

Jawaban No. 5

(b). $699$ ribu

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2; Miller Bab 5.3

Rumus PMF Poisson: $P(N=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$ untuk $k=0,1,2,\dots$

Variansi dari variabel diskrit: $\text{Var}(B)=E[B^2]-(E[B]{)}^2,\text{SD}(B)=\sqrt{\text{Var}(B)}$

Transformasi terbatas (capped variable): Jika $B=\min (N,c)$, maka $B$ mengambil nilai $0,1,\dots ,c-1$ masing-masing dengan $P(N=k)$, dan nilai $c$ dengan $P(N\ge c)$.

Diketahui:

• $N\sim \text{Poisson}(\lambda =0,6)$ = banyaknya hari hujan mulai 1 April

• Manfaat asuransi: 1 juta per hari hujan, maksimum 2 hari → $B=\min (N,2)$ juta

• Target: $\text{SD}(B)$ dalam satuan ribu rupiah

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung Probabilitas Poisson yang Diperlukan

Dengan $\lambda =0,6$: $P(N=0)=\frac{e^{-0,6}(0,6{)}^0}{0!}=e^{-0,6}\approx 0,5488$ $P(N=1)=\frac{e^{-0,6}(0,6{)}^1}{1!}=0,6e^{-0,6}\approx 0,3293$ $P(N\ge 2)=1-P(N=0)-P(N=1)=1-0,5488-0,3293=0,1219$

Langkah 2: Tentukan Distribusi $B=\min (N,2)$

Karena manfaat dibayar hingga maksimum 2 hari:

• $B=0$ jika $N=0$ (tidak ada hujan)
• $B=1$ jika $N=1$ (hujan 1 hari)
• $B=2$ jika $N\ge 2$ (hujan 2 hari atau lebih, tetap dibayar 2 hari)

$B$ (juta)	$P(B)$
$0$	$0,5488$
$1$	$0,3293$
$2$	$0,1219$

Verifikasi: $0,5488+0,3293+0,1219=1,000$ ✓

Langkah 3: Hitung $E[B]$

$E[B]=0\times 0,5488+1\times 0,3293+2\times 0,1219$ $=0+0,3293+0,2438=0,5731\text{ juta}$

Langkah 4: Hitung $E[B^2]$

$E[B^2]=0^2\times 0,5488+1^2\times 0,3293+2^2\times 0,1219$ $=0+0,3293+4\times 0,1219=0,3293+0,4876=0,8169{\text{ juta}}^2$

Langkah 5: Hitung Variansi dan Deviasi Standar

$\text{Var}(B)=E[B^2]-(E[B]{)}^2=0,8169-(0,5731{)}^2$ $(0,5731{)}^2=0,3284$ $\text{Var}(B)=0,8169-0,3284=0,4885{\text{ juta}}^2$

$\text{SD}(B)=\sqrt{0,4885}\approx 0,6989\text{ juta}=698,9\text{ ribu}\approx 699\text{ ribu}$

Hasil Akhir: (b). $699$ ribu

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menggunakan $\text{SD}(N)=\sqrt{\lambda }=\sqrt{0,6}\approx 775$ ribu (opsi c) secara langsung — ini adalah deviasi standar dari $N$, bukan dari $B=\min (N,2)$. Variabel $B$ memiliki distribusi yang berbeda dari $N$ karena di-cap di 2.
• Lupa bahwa untuk $N\ge 2$, manfaat tetap $B=2$ (bukan $B=N$). Semua kejadian $N=2,3,4,\dots$ digabung menjadi satu nilai $B=2$ dengan probabilitas $P(N\ge 2)$.
• Salah menghitung $(E[B]{)}^2$: pastikan mengkuadratkan hasil $E[B]$, bukan $E[B^2]$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Manfaat hingga dua hari” berarti batas atas manfaat adalah 2 hari — ini adalah struktur $\min (N,2)$, bukan “tepat 2 hari” atau “setidaknya 2 hari”.
• Manfaat dihitung per hari hujan yang menyebabkan penundaan, dimulai dari 1 April. Jika tidak hujan sama sekali ($N=0$), tidak ada manfaat.

Red Flags

• Jika soal menyebutkan batas maksimum manfaat → bentuk variabel pembayaran menjadi $B=\min (N,c)$, lalu buat tabel distribusi $B$ secara eksplisit.
• Soal meminta deviasi standar, bukan variansi → jangan lupa mengakarkan di langkah terakhir.
• Nilai $\sqrt{0,6}\approx 0,775$ adalah jebakan opsi (c) — ini hanya berlaku jika tidak ada pembatasan manfaat.

---

No. 6

Misal $X$ dan $Y$ merupakan dua variabel acak kontinu dengan fungsi peluang bersama:

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}15y,& \text{untuk }{x}^2\le y\le x\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

Misal $g$ merupakan fungsi kepadatan dari $Y$. Manakah dari pilihan jawaban berikut yang merepresentasikan $g$?

a. $g(y)=\{\begin{array}{ll}15y,& \text{untuk }0\le y\le 1\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$
b. $g(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{15y^2}{2},& \text{untuk }{x}^2\le y\le x\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$
c. $g(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{15y^2}{2},& \text{untuk }0\le y\le 1\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$
d. $g(y)=\{\begin{array}{ll}15y^{3/2}\left(1-y^{1/2}\right),& \text{untuk }{x}^2\le y\le x\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$
e. $g(y)=\{\begin{array}{ll}15y^{3/2}\left(1-y^{1/2}\right),& \text{untuk }0\le y\le 1\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

Jawaban No. 6

(e). $g(y)=15y^{3/2}(1-y^{1/2})$ untuk $0\le y\le 1$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.2 Distribusi Marginal
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.1–2.3; Miller Bab 3.5

Rumus PDF Marginal dari $Y$ (mengintegrasikan $f(x,y)$ terhadap $x$): $g_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$ Batas integrasi harus ditentukan dari region support $\{(x,y):x^2\le y\le x\}$ untuk nilai $y$ yang diberikan — bukan dari nilai $x$ yang diberikan.

Diketahui:

• $f(x,y)=15y$ pada region $\{x^2\le y\le x\}$, yaitu untuk $0\le x\le 1$

• Target: $g_Y(y)=\int f(x,y)dx$ sebagai fungsi $y$ saja (bebas dari $x$)

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Gambar dan Pahami Region Support

Kondisi $x^2\le y\le x$ artinya:

• $y\ge x^2$ (titik $(x,y)$ berada di atas parabola $y=x^2$)
• $y\le x$ (titik $(x,y)$ berada di bawah garis $y=x$)

Kedua kurva berpotongan di $(0,0)$ dan $(1,1)$. Jadi support $(X,Y)$ adalah region antara parabola dan garis diagonal di $[0,1{]}^2$, dengan $0\le x\le 1$.

Langkah 2: Tentukan Batas $x$ untuk Nilai $y$ Tertentu

Untuk menghitung $g_Y(y)$, kita perlu batas $x$ saat $y$ dipegang tetap:

• Dari $y\le x$: $x\ge y$ (batas bawah $x$)
• Dari $y\ge x^2$: $x\le \sqrt{y}$ (batas atas $x$)

Jadi untuk $y$ tetap: $x$ berkisar dari $y$ sampai $\sqrt{y}$.

Support $Y$: karena $x\in [0,1]$ dan $y\in [x^2,x]$, nilai $y$ berkisar dari $0$ (saat $x\to 0$) hingga $1$ (saat $x=1$). Jadi support marginal $Y$ adalah $[0,1]$.

Langkah 3: Integrasikan $f(x,y)$ terhadap $x$

$g_Y(y)={\int }_y^{\sqrt{y}}15ydx$

Karena $15y$ adalah konstanta terhadap $x$ (tidak mengandung $x$): $=15y{\int }_y^{\sqrt{y}}dx=15y\cdot {\left[x\right]}_y^{\sqrt{y}}=15y\left(\sqrt{y}-y\right)$

Langkah 4: Sederhanakan Hasilnya

$g_Y(y)=15y(\sqrt{y}-y)=15y\cdot y^{1/2}-15y\cdot y=15y^{3/2}-15y^2$

Faktorkan: $=15y^{3/2}(1-y^{1/2})$

Langkah 5: Nyatakan Support Marginal

Support $g_Y$ adalah $0\le y\le 1$ — bebas dari $x$ karena $x$ sudah diintegrasikan: $g_Y(y)=\{\begin{array}{ll}15y^{3/2}(1-y^{1/2}),& 0\le y\le 1\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

Verifikasi (opsional): Seharusnya ${\int }_0^{1}15y^{3/2}(1-y^{1/2})dy=1$. $=15{\left[\frac{y^{5/2}}{5/2}-\frac{y^3}{3}\right]}_0^1=15\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)=15\times \frac{1}{15}=1$ ✓

Hasil Akhir: (e). $g(y)=15y^{3/2}(1-y^{1/2})$ untuk $0\le y\le 1$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Salah menentukan batas integrasi $x$: mengintegrasikan dari $x^2$ ke $x$ (menukar batas antara $x$ dan $y$). Ingat: untuk marginalisasi terhadap $y$, kita integrasikan terhadap $x$, sehingga batas harus dinyatakan dalam $y$ bukan $x$.
• Menganggap $15y$ adalah fungsi $x$ karena tertulis $f(x,y)$ — padahal $15y$ tidak mengandung $x$, sehingga bisa langsung difaktorkan keluar dari integral.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Memilih opsi (b) atau (d) yang mencantumkan support $x^2\le y\le x$ — ini pasti salah karena PDF marginal $g_Y(y)$ adalah fungsi $y$ saja. Support tidak boleh mengandung $x$ (variabel yang sudah diintegrasikan).
• Memilih opsi (a) dengan $g(y)=15y$ — ini adalah integrand sebelum diintegrasikan, bukan hasil marginalisasi.
• Memilih opsi (c) dengan $g(y)=15y^2/2$ — ini mungkin hasil mengintegrasikan $15y$ terhadap $y$ (bukan $x$), yang merupakan kesalahan arah integrasi.

Red Flags

• Support berbentuk non-rectangular (ada relasi antar $x$ dan $y$ di syarat support) → wajib gambar region sebelum menentukan batas integrasi.
• Langkah kritis: ubah dulu “batas $y$ dalam $x$” → “batas $x$ dalam $y$” sebelum mengintegrasikan. Di sini: dari $x^2\le y\le x$ → menjadi $y\le x\le \sqrt{y}$.
• Opsi yang mengandung variabel terintegrasi di support → langsung eliminasi tanpa perlu hitung.

---

No. 7

Suatu perangkat berfungsi hingga salah satu dari dua komponen berhenti bekerja. Fungsi peluang bersama dari masa hidup kedua komponen yang diukur dalam jam diberikan sebagai berikut:

$f(x,y)=\frac{x+y}{27},\text{untuk }0<x<3\text{ dan }0<y<3$

Hitunglah peluang perangkat mengalami kegagalan dalam satu jam pertama pengoperasian! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,04$
b. $0,41$
c. $0,44$
d. $0,59$
e. $0,96$

Jawaban No. 7

$0,41$ (b)

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.5 Independensi dan Korelasi
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.1; Miller Bab 3.5

Rumus
Perangkat gagal dalam 1 jam jika $\min (X,Y)\le 1$: $P(\min (X,Y)\le 1)=1-P(\min (X,Y)>1)=1-P(X>1,Y>1)$ $P(X>1,Y>1)={\int }_1^3{\int }_1^{3}f(x,y)dxdy$

Diketahui:

• $f(x,y)=\frac{x+y}{27}$ pada $(0,3)\times (0,3)$, kontinu

• Perangkat gagal saat komponen pertama mati: $T=\min (X,Y)$

• Target: $P(T\le 1)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Gunakan komplemen

$P(T\le 1)=1-P(X>1,Y>1)$

Langkah 2: Hitung $P(X>1,Y>1)$

$P(X>1,Y>1)={\int }_1^3{\int }_1^3\frac{x+y}{27}dxdy$

Integral dalam terhadap $x$: ${\int }_1^3\frac{x+y}{27}dx=\frac{1}{27}{\left[\frac{x^2}{2}+yx\right]}_1^3=\frac{1}{27}\left[\left(\frac{9}{2}+3y\right)-\left(\frac{1}{2}+y\right)\right]=\frac{1}{27}(4+2y)$

Integral luar terhadap $y$: ${\int }_1^3\frac{4+2y}{27}dy=\frac{1}{27}{\left[4y+y^2\right]}_1^3=\frac{1}{27}\left[(12+9)-(4+1)\right]=\frac{1}{27}(21-5)=\frac{16}{27}\approx 0,593$

Langkah 3: Hitung probabilitas kegagalan

$P(T\le 1)=1-\frac{16}{27}=\frac{11}{27}\approx 0,407\approx 0,41$

Hasil Akhir: $0,41$ (b)

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menghitung $P(X\le 1)+P(Y\le 1)$ tanpa memperhitungkan irisan — ini menghasilkan perhitungan ganda.
• Menggunakan $P(\min \le 1)$ dengan marginal saja jika $X$ dan $Y$ tidak independen (di sini memang tidak independen karena PDF bersama $\ne$ produk marginal).

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Gagal dalam satu jam” berarti $\min (X,Y)\le 1$, bukan $X\le 1$ dan $Y\le 1$ secara bersamaan.

Red Flags

• “Berfungsi hingga salah satu komponen berhenti” → sistem seri → gunakan $\min (X,Y)$.
• Gunakan komplemen untuk mempermudah: $P(\min \le 1)=1-P(X>1,Y>1)$.

---

No. 8

Misal $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi peluang bersama sebagai berikut:

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}24xy,& \text{untuk }0<x<1\text{ dan }0<y<1-x\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

Hitunglah peluang $P\left(Y<X\mid X=\frac{1}{3}\right)$!

a. $\frac{1}{27}$
b. $\frac{2}{27}$
c. $\frac{1}{3}$
d. $\frac{4}{9}$
e. $\frac{1}{4}$

Jawaban No. 8

$\frac{1}{4}$ (e)

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.2 Distribusi Marginal, 3.1 Distribusi Gabungan
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.3; Miller Bab 3.6

Rumus
PDF bersyarat $Y\mid X=x$: $f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ Probabilitas bersyarat: $P(Y<a\mid X=x)={\int }_0^a{f}_{Y|X}(y\mid x)dy$

Diketahui:

• $f(x,y)=24xy$ untuk $0<x<1$, $0<y<1-x$

• Target: $P\left(Y<\frac{1}{3}\mid X=\frac{1}{3}\right)$ — karena $Y<X$ dan $X=\frac{1}{3}$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung PDF marginal $f_X(x)$

$f_X(x)={\int }_0^{1-x}24xydy=24x\cdot \frac{(1-x{)}^2}{2}=12x(1-x{)}^2$

Langkah 2: Tentukan PDF bersyarat $f_{Y|X}(y\mid x)$

$f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{24xy}{12x(1-x{)}^2}=\frac{2y}{(1-x{)}^2},0<y<1-x$

Untuk $x=\frac{1}{3}$: $f_{Y|X}\left(y\mid \frac{1}{3}\right)=\frac{2y}{(2/3{)}^2}=\frac{2y}{4/9}=\frac{9y}{2}$, untuk $0<y<\frac{2}{3}$.

Langkah 3: Hitung $P\left(Y<\frac{1}{3}\mid X=\frac{1}{3}\right)$

$P\left(Y<\frac{1}{3}\mid X=\frac{1}{3}\right)={\int }_0^{1/3}\frac{9y}{2}dy=\frac{9}{2}\cdot \frac{y^2}{2}{|}_0^{1/3}=\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{4}$

Hasil Akhir: $\frac{1}{4}$ (e)

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menggunakan $f(x,y)$ langsung tanpa membagi dengan $f_X(x)$ — PDF bersyarat bukan PDF bersama.
• Lupa bahwa batas atas $Y\mid X=x$ adalah $1-x$, bukan $1$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• "$P(Y<X\mid X=1/3)$" berarti $P(Y<1/3\mid X=1/3)$ — substitusi nilai $X$ terlebih dahulu.

Red Flags

• Jika soal memuat kondisi $X=x$ (nilai tertentu) → selalu gunakan distribusi bersyarat, bukan joint langsung.

---

No. 9

$X$ dan $Y$ merupakan variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen $M(t)=e^{\frac{t^2}{2}}$. Misal $W=X+Y$ dan $Z=Y-X$. Tentukan fungsi pembangkit momen bersama $M(t_1,t_2)$ dari $W$ dan $Z$!

a. $e^{2t_1^2+2t_2^2}$
b. $e^{(t_1-t_2{)}^2}$
c. $e^{(t_1+t_2{)}^2}$
d. $e^{2t_1{t}_2}$
e. $e^{t_1^2+t_2^2}$

Jawaban No. 9

(e). $e^{t_1^2+t_2^2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan, 2.3 Fungsi Pembangkit
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.3 Fungsi Pembangkit, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 3.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.8

Rumus Joint MGF dari $(W,Z)$: $M_{W,Z}(t_1,t_2)=E\left[e^{t_{1}W+t_{2}Z}\right]$ Sifat Independensi: Jika $X\perp Y$, maka untuk semua fungsi $g(X)$ dan $h(Y)$: $E[g(X)\cdot h(Y)]=E[g(X)]\cdot E[h(Y)]$ Substitusi MGF univariat: $E\left[e^{aX}\right]=M_X(a)$ — evaluasi MGF $X$ di titik $a$.

Diketahui:

• $X,Y$ saling bebas ($X\perp Y$) dengan MGF yang sama: $M_X(t)=M_Y(t)=e^{t^2/2}$

• Ini adalah MGF distribusi $N(0,1)$

• $W=X+Y$, $Z=Y-X$

• Target: $M_{W,Z}(t_1,t_2)=E[e^{t_{1}W+t_{2}Z}]$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Ekspresikan $t_{1}W+t_{2}Z$ dalam $X$ dan $Y$

Substitusi $W=X+Y$ dan $Z=Y-X$: $t_{1}W+t_{2}Z=t_1(X+Y)+t_2(Y-X)$ $=t_{1}X+t_{1}Y+t_{2}Y-t_{2}X$ $=(t_1-t_2)X+(t_1+t_2)Y$

Langkah 2: Pisahkan Ekspektasi Menggunakan Independensi $X\perp Y$

$M_{W,Z}(t_1,t_2)=E\left[e^{(t_1-t_2)X+(t_1+t_2)Y}\right]$ $=E\left[e^{(t_1-t_2)X}\cdot e^{(t_1+t_2)Y}\right]$

Karena $X\perp Y$, faktor yang hanya bergantung pada $X$ dan faktor yang hanya bergantung pada $Y$ dapat dipisahkan: $=E\left[e^{(t_1-t_2)X}\right]\cdot E\left[e^{(t_1+t_2)Y}\right]$ $=M_X(t_1-t_2)\cdot M_Y(t_1+t_2)$

Langkah 3: Substitusi MGF

Gunakan $M_X(s)=e^{s^2/2}$ dan $M_Y(s)=e^{s^2/2}$: $M_X(t_1-t_2)=e^{(t_1-t_2{)}^2/2}$ $M_Y(t_1+t_2)=e^{(t_1+t_2{)}^2/2}$

$M_{W,Z}(t_1,t_2)=e^{(t_1-t_2{)}^2/2}\cdot e^{(t_1+t_2{)}^2/2}=e^{\frac{(t_1-t_2{)}^2+(t_1+t_2{)}^2}{2}}$

Langkah 4: Sederhanakan Eksponen

Ekspansi pembilang eksponen: $(t_1-t_2{)}^2=t_1^2-2t_1{t}_2+t_2^2$ $(t_1+t_2{)}^2=t_1^2+2t_1{t}_2+t_2^2$

Jumlahkan (perhatikan suku $\pm 2t_1{t}_2$ saling menghilangkan): $(t_1-t_2{)}^2+(t_1+t_2{)}^2=2t_1^2+2t_2^2$

Maka: $M_{W,Z}(t_1,t_2)=e^{\frac{2t_1^2+2t_2^2}{2}}=e^{t_1^2+t_2^2}$

Catatan Bonus: Karena joint MGF memfaktorkan menjadi $e^{t_1^2}\cdot e^{t_2^2}=M_W(t_1)\cdot M_Z(t_2)$, ini membuktikan bahwa $W$ dan $Z$ saling bebas — meskipun keduanya merupakan kombinasi linear dari $X$ dan $Y$ yang sama!

Hasil Akhir: (e). $e^{t_1^2+t_2^2}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Langsung menulis $M_{W,Z}(t_1,t_2)=M_W(t_1)\cdot M_Z(t_2)$ tanpa derivasi — ini hanya valid jika $W\perp Z$, yang justru merupakan kesimpulan yang perlu dibuktikan, bukan asumsi awal.
• Salah menguraikan $t_{1}W+t_{2}Z$: menulis $(t_1+t_2)X+(t_1-t_2)Y$ (tanda tertukar antara koefisien $X$ dan $Y$).
• Salah ekspansi aljabar: $(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2a^2+2b^2$ (suku $\pm 2ab$ saling menghilangkan) — ini harus dihapal.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Mengira joint MGF $M_{W,Z}(t_1,t_2)$ adalah hasil kali MGF univariat $M_W(t_1)\cdot M_Z(t_2)$ secara langsung. Joint MGF didefinisikan sebagai $E[e^{t_{1}W+t_{2}Z}]$, bukan $E[e^{t_{1}W}]\cdot E[e^{t_{2}Z}]$ kecuali jika $W\perp Z$ sudah diketahui.

Red Flags

• Jika $M(t)=e^{t^2/2}$ → distribusi $N(0,1)$; kombinasi linear variabel Normal adalah Normal.
• Langkah kritis: ubah $t_{1}W+t_{2}Z$ menjadi bentuk $aX+bY$ dulu sebelum mengambil ekspektasi — ini selalu langkah pertama untuk joint MGF dari transformasi linear.
• Jika joint MGF memfaktorkan sebagai $g(t_1)\cdot h(t_2)$ → $W$ dan $Z$ independen.

---

No. 10

Ketika pemegang polis melakukan klaim akibat suatu kebakaran yang terjadi kepada suatu perusahaan asuransi kebakaran, maka perusahaan tersebut akan menentukan estimasi awal besaran klaim yang akan dibayarkan kepada penerima manfaat sebesar $X$. Ketika klaim tersebut disetujui, Perusahaan membayarkan manfaat sebesar $Y$.

Perusahaan asuransi menentukan $X$ dan $Y$ memiliki fungsi peluang bersama:

$f(x,y)=\frac{2}{x^2(x-1)}\cdot y^{-\frac{2x-1}{x-1}},\text{untuk }x>1,y>1$

Jika diketahui estimasi klaim awal sebesar 2, tentukan peluang bahwa besaran klaim yang disetujui oleh perusahaan asuransi di antara 1 dan 3!

a. $\frac{1}{9}$
b. $\frac{2}{9}$
c. $\frac{1}{3}$
d. $\frac{2}{3}$
e. $\frac{8}{9}$

Jawaban No. 10

(e). $\frac{8}{9}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.2 Distribusi Marginal, 3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.3; Miller Bab 3.6

Rumus PDF Bersyarat $Y$ diketahui $X=x$: $f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ PDF Marginal $X$: $f_X(x)={\int }_1^{\infty }f(x,y)dy$ Probabilitas bersyarat menggunakan PDF bersyarat: $P(a<Y<b\mid X=x)={\int }_a^b{f}_{Y|X}(y\mid x)dy$

Diketahui:

• $f(x,y)=\frac{2}{x^2(x-1)}\cdot y^{-\frac{2x-1}{x-1}}$ untuk $x>1$, $y>1$

• Nilai kondisi: $X=2$

• Target: $P(1<Y<3\mid X=2)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Substitusi $x=2$ ke PDF Bersama

Hitung konstanta dan eksponen untuk $x=2$:

• Konstanta: $\frac{2}{x^2(x-1)}{|}_{x=2}=\frac{2}{4\times 1}=\frac{1}{2}$
• Eksponen: $\frac{2x-1}{x-1}{|}_{x=2}=\frac{2(2)-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3$

Sehingga: $f(2,y)=\frac{1}{2}\cdot y^{-3},y>1$

Langkah 2: Hitung Marginal $f_X(2)$

$f_X(2)={\int }_1^{\infty }f(2,y)dy={\int }_1^{\infty }\frac{1}{2}{y}^{-3}dy$ $=\frac{1}{2}{\left[\frac{y^{-2}}{-2}\right]}_1^{\infty }=\frac{1}{2}\left(0-\frac{1^{-2}}{-2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

(Limit: saat $y\to \infty$, $y^{-2}\to 0$)

Langkah 3: Tentukan PDF Bersyarat $f_{Y|X}(y\mid 2)$

$f_{Y|X}(y\mid 2)=\frac{f(2,y)}{f_X(2)}=\frac{\frac{1}{2}{y}^{-3}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\times 4\times y^{-3}=2y^{-3},y>1$

Verifikasi: ${\int }_1^{\infty }2y^{-3}dy=2\cdot {\left[\frac{y^{-2}}{-2}\right]}_1^{\infty }=2\cdot \frac{1}{2}=1$ ✓ (valid sebagai PDF)

Ini adalah distribusi Pareto tipe II dengan parameter $\alpha =2$.

Langkah 4: Hitung $P(1<Y<3\mid X=2)$

$P(1<Y<3\mid X=2)={\int }_1^{3}2y^{-3}dy$ $=2{\left[\frac{y^{-2}}{-2}\right]}_1^3={\left[-y^{-2}\right]}_1^3$ $=\left(-\frac{1}{3^2}\right)-\left(-\frac{1}{1^2}\right)=-\frac{1}{9}+1=\frac{8}{9}$

Hasil Akhir: (e). $\frac{8}{9}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Tidak membagi dengan $f_X(2)$: menggunakan $f(2,y)=\frac{1}{2}{y}^{-3}$ langsung sebagai PDF bersyarat. Ini adalah PDF bersama yang belum ternormalisasi — integralnya $=1/4$, bukan $1$.
• Salah menghitung eksponen saat $x=2$: beberapa salah menghitung $\frac{2x-1}{x-1}=\frac{3}{1}=3$ menjadi $\frac{3}{2}$ atau nilai lain.
• Salah menghitung integral ${\int }_1^{3}2y^{-3}dy$: anti-turunan $y^{-3}$ adalah $\frac{y^{-2}}{-2}$, bukan $\frac{y^{-2}}{2}$ — perhatikan tanda negatif.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Di antara 1 dan 3” = $P(1<Y<3)$. Batas bawah $y=1$ sesuai dengan support $y>1$, sehingga $P(Y=1)=0$ untuk distribusi kontinu — tidak perlu khawatir inklusivitas.

Red Flags

• Soal menyebut “jika diketahui estimasi klaim awal sebesar $x$” → ini adalah distribusi bersyarat $f_{Y|X}(y\mid x)$, bukan distribusi marginal atau bersama.
• Prosedur standar: (1) substitusi nilai $x$, (2) hitung marginal $f_X(x)$, (3) bagi untuk dapat $f_{Y|X}$, (4) integrasikan untuk dapat probabilitas.
• Jika $f(x,y)\propto y^{-\alpha }$ dengan $\alpha >1$ dan support $y>1$ → distribusi Pareto; integral selalu konvergen.

---

No. 11

Suatu Perusahaan asuransi menawarkan produk asuransi kesehatan kepada para karyawan di suatu Perusahaan besar. Sebagai bagian dari rencana ini, setiap karyawan dapat menambahkan tepat dua dari asuransi tambahan A, B, dan C, atau mereka dapat memilih untuk tidak menambahkan asuransi tambahan apapun dari ketiganya. Proporsi dari karyawan Perusahaan yang memilih asuransi tambahan A, B, dan C yaitu $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, dan $\frac{5}{12}$, secara berurutan. Tentukan peluang seorang karyawan yang diambil secara acak akan memilih tidak dengan asuransi tambahan!

a. $0$
b. $\frac{47}{144}$
c. $\frac{1}{2}$
d. $\frac{97}{144}$
e. $\frac{7}{9}$

Jawaban No. 11

(c). $\frac{1}{2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

Rumus Normalisasi Probabilitas: Total proporsi seluruh kelompok $=1$: $p_{AB}+p_{AC}+p_{BC}+p_0=1$ Relasi proporsi pilihan individual dan pasangan:

• $P(\text{pilih A})=p_{AB}+p_{AC}$ (karyawan yang memilih A pasti memilih salah satu dari AB atau AC)
• $P(\text{pilih B})=p_{AB}+p_{BC}$
• $P(\text{pilih C})=p_{AC}+p_{BC}$

Diketahui:

• Setiap karyawan memilih tepat 2 dari $\{A,B,C\}$ atau tidak memilih sama sekali

• $P(\text{pilih A})=\frac{1}{4}$, $P(\text{pilih B})=\frac{1}{3}$, $P(\text{pilih C})=\frac{5}{12}$

• Target: $p_0=P(\text{tidak memilih})$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Definisikan Variabel

Karena setiap karyawan yang memilih akan memilih tepat 2 asuransi, hanya ada 3 kemungkinan pasangan:

• $p_{AB}$ = proporsi yang memilih A dan B
• $p_{AC}$ = proporsi yang memilih A dan C
• $p_{BC}$ = proporsi yang memilih B dan C
• $p_0$ = proporsi yang tidak memilih apapun

Langkah 2: Tulis Sistem Persamaan dari Proporsi Individual

Karyawan yang “memilih A” berarti paket mereka mencakup A, yaitu paket AB atau AC: p_{AB} + p_{AC} = \frac{1}{4} \tag{1} p_{AB} + p_{BC} = \frac{1}{3} \tag{2} p_{AC} + p_{BC} = \frac{5}{12} \tag{3}

Langkah 3: Jumlahkan Ketiga Persamaan

$(p_{AB}+p_{AC})+(p_{AB}+p_{BC})+(p_{AC}+p_{BC})=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{5}{12}$ $2(p_{AB}+p_{AC}+p_{BC})=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}+\frac{5}{12}=\frac{12}{12}=1$ $p_{AB}+p_{AC}+p_{BC}=\frac{1}{2}$

Langkah 4: Hitung Proporsi yang Tidak Memilih

Karena total proporsi harus $=1$: $p_0=1-(p_{AB}+p_{AC}+p_{BC})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Hasil Akhir: (c). $\frac{1}{2}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menjumlahkan $P(A)+P(B)+P(C)$ dan menyimpulkan $p_0=0$: memang $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{5}{12}=1$, tetapi ini tidak berarti semua karyawan memilih. Karena setiap karyawan yang memilih dihitung dua kali (sekali di setiap asuransi yang dipilih), jumlah $P(A)+P(B)+P(C)=2(p_{AB}+p_{AC}+p_{BC})$, bukan $p_{AB}+p_{AC}+p_{BC}$.
• Mencoba menyelesaikan sistem 3 persamaan untuk mendapat $p_{AB}$, $p_{AC}$, $p_{BC}$ secara individual — tidak perlu! Kita hanya butuh jumlah totalnya, yang cukup didapat dari menjumlahkan ketiga persamaan.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Proporsi karyawan yang memilih A” = $P(A)=p_{AB}+p_{AC}$, bukan $p_{AB}+p_{AC}+p_{BC}$ (yang mencakup semua yang memilih apapun).
• Jangan mengira karyawan bisa memilih hanya 1 atau semua 3 — soal menyatakan “tepat dua atau tidak sama sekali”.

Red Flags

• Jika soal menyebut “tepat $k$ dari $n$ opsi” → setiap karyawan yang memilih dihitung di $k$ kategori → jumlah proporsi individual $=k\times$ (proporsi yang memilih).
• Trik efisien: jumlahkan semua persamaan untuk mendapat $k\times \sum p_{\text{pasangan}}$, lalu bagi $k$. Di sini $k=2$, sehingga $P(A)+P(B)+P(C)=2(p_{AB}+p_{AC}+p_{BC})$.

---

No. 12

Suatu perusahaan transportasi memiliki bus yang dapat mengakomodasi 20 orang turis. Berdasarkan pengalaman, perusahaan menduga beberapa turis akan tidak datang, sehingga perusahaan tersebut menjual 21 tiket. Peluang turis tidak datang sebesar $0,02$ dan saling bebas dengan turis-turis lainnya. Setiap tiket dijual seharga 50 ribu dan tidak ada pengembalian uang jika turis tidak datang. Jika turis datang dan kursi tidak tersedia, maka perusahaan harus membayar kerugian sebesar 100 ribu (yaitu sebesar harga tiket dan penalti sebesar 50 ribu). Berapakah ekspektasi pendapatan yang diterima oleh operator? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $935.000$
b. $950.000$
c. $967.000$
d. $976.000$
e. $985.000$

Jawaban No. 12

(e). $985.000$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	2.1 Variabel Acak Diskrit
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Miller Bab 5.2

Rumus Distribusi Binomial: $N\sim B(n,p_{\text{datang}})$ dengan $n=21$, $p_{\text{datang}}=1-0,02=0,98$. $P(N=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{k}\right)(0,98{)}^k(0,02{)}^{21-k}$ Ekspektasi dengan dua skenario: $E[\text{Pendapatan}]=R_1\cdot P(\text{Skenario 1})+R_2\cdot P(\text{Skenario 2})$

Diketahui:

• 21 tiket dijual, kapasitas bus 20 kursi

• $p(\text{tidak datang})=0,02$, $p(\text{datang})=0,98$, setiap turis independen

• $N$ = banyaknya turis yang datang → $N\sim B(21,0,98)$

• Pendapatan per tiket: Rp50.000 (tidak dikembalikan meski tidak datang)

• Penalti jika turis datang tapi tidak ada kursi: Rp100.000 per orang (tiket 50 ribu dikembalikan + penalti 50 ribu)

• Target: $E[\text{Pendapatan bersih operator}]$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Identifikasi Skenario yang Mungkin

Dengan 21 tiket dan kapasitas 20:

• Skenario A ($N\le 20$): setidaknya 1 turis tidak datang → semua turis yang datang mendapat kursi. Tidak ada penalti.
• Skenario B ($N=21$): semua 21 turis datang → 1 orang tidak mendapat kursi → perusahaan bayar penalti Rp100.000.

Mengapa hanya dua skenario? Karena $N$ bisa bernilai 0 sampai 21, tetapi kursi hanya tidak cukup jika $N>20$, yaitu hanya jika $N=21$.

Langkah 2: Hitung Pendapatan di Masing-Masing Skenario

Pendapatan kotor dari penjualan tiket (selalu): $21\times 50.000=\text{Rp}\mathrm{1.050.000}$

• Skenario A ($N\le 20$): tidak ada penalti → Pendapatan = Rp$\mathrm{1.050.000}$
• Skenario B ($N=21$): penalti Rp$100.000$ untuk 1 orang → Pendapatan = Rp$\mathrm{1.050.000}-100.000=\text{Rp}950.000$

Langkah 3: Hitung Probabilitas Masing-Masing Skenario

$P(N=21)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{21}\right)(0,98{)}^{21}(0,02{)}^0=(0,98{)}^{21}$

Hitung $(0,98{)}^{21}$: $\ln (0,98)\approx -0,02020⟹21\times (-0,02020)=-0,4242$ $(0,98{)}^{21}=e^{-0,4242}\approx 0,6543$

$P(N\le 20)=1-P(N=21)=1-0,6543=0,3457$

Langkah 4: Hitung Ekspektasi Pendapatan

$E[\text{Pendapatan}]=\mathrm{1.050.000}\times P(N\le 20)+950.000\times P(N=21)$ $=\mathrm{1.050.000}\times 0,3457+950.000\times 0,6543$ $=362.985+621.585=984.570\approx \text{Rp}985.000$

Alternatif penghitungan yang lebih ringkas: $E[\text{Pendapatan}]=\mathrm{1.050.000}-100.000\times P(N=21)$ $=\mathrm{1.050.000}-100.000\times 0,6543=\mathrm{1.050.000}-65.430=984.570\approx \text{Rp}985.000$

Hasil Akhir: (e). $985.000$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menghitung $E[\text{Pendapatan}]=20\times 50.000=\mathrm{1.000.000}$ — ini mengabaikan bahwa tiket yang tidak digunakan (turis tidak datang) tetap menghasilkan pendapatan Rp50.000 karena tidak ada pengembalian uang.
• Mengira lebih dari 1 orang bisa kelebihan kursi — dengan tepat 21 tiket dan kapasitas 20, maksimum kelebihan adalah $21-20=1$ orang (hanya terjadi jika $N=21$).
• Salah menghitung $(0,98{)}^{21}$: gunakan logaritma natural atau kalkulator. Hasilnya $\approx 0,654$, bukan $\approx 0,98^2=0,96$ (keliru menggunakan pangkat kecil).

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Penalti sebesar 100 ribu” adalah total yang dibayar perusahaan (bukan hanya penalti bersih) — ini mencakup pengembalian tiket Rp50.000 + penalti tambahan Rp50.000, totalnya Rp100.000.
• “Pendapatan” di sini adalah pendapatan bersih operator: total penerimaan dari tiket dikurangi pengeluaran penalti.

Red Flags

• Masalah overbooking: kapasitas $n$, tiket dijual $n+k$ → penalti hanya terjadi jika $N>n$. Di sini $n=20$, $k=1$, sehingga penalti hanya jika $N=21$.
• Rumus ringkas yang berguna: $E[\text{Pendapatan}]=\text{Pendapatan maks}-\text{Penalti}\times P(\text{kelebihan})$.
• Selalu cek: apakah ada lebih dari satu skenario penalti? Di sini tidak, karena hanya bisa kelebihan 0 atau 1 orang.

---

No. 13

Seorang peneliti kesehatan masyarakat meneliti rekam medis dari suatu grup yang terdiri dari 937 laki-laki yang meninggal di tahun 1997 dan menemukan fakta bahwa 210 diantaranya meninggal akibat penyakit jantung. Selain itu, 312 dari 937 laki-laki memiliki setidaknya satu orang tua (ayah atau ibu) yang juga meninggal karena penyakit jantung. Dari 312 orang ini, sebanyak 102 laki-laki meninggal karena penyakit jantung. Tentukanlah peluang seorang laki-laki yang diambil secara acak dari grup ini meninggal karena penyakit jantung, jika diketahui tidak ada satupun dari orangtuanya yang meninggal karena penyakit jantung! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,115$
b. $0,173$
c. $0,224$
d. $0,327$
e. $0,514$

Jawaban No. 13

(b). $0,173$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.4 Probabilitas Bersyarat
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

Rumus Probabilitas Bersyarat: $P(A\mid B^c)=\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}$ Di mana $P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)$ dan $P(B^c)=1-P(B)$.

Pendekatan counting (frekuensi relatif): Lebih mudah bekerja langsung dengan jumlah orang daripada probabilitas, karena semua data diberikan dalam bentuk frekuensi absolut.

Diketahui:

• Total laki-laki dalam grup: $937$

• Meninggal karena penyakit jantung: $210$ orang

• Definisikan kejadian:

  • $J$ = meninggal karena penyakit jantung
  • $B$ = setidaknya satu orang tua meninggal karena penyakit jantung → $|B|=312$
  • $B^c$ = tidak ada orang tua yang meninggal karena penyakit jantung → $|B^c|=937-312=625$

• Dari 312 orang di kelompok $B$: 102 meninggal karena jantung → $|J\cap B|=102$

• Target: $P(J\mid B^c)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Susun Tabel Frekuensi (Opsional tapi Sangat Membantu)

	Jantung ($J$)	Bukan Jantung ($J^c$)	Total
Orang tua punya riwayat ($B$)	$102$	$312-102=210$	$312$
Orang tua tidak punya riwayat ($B^c$)	$?$	$?$	$625$
Total	$210$	$727$	$937$

Langkah 2: Hitung $|J\cap B^c|$ — Jumlah yang Meninggal karena Jantung di Kelompok $B^c$

Total yang meninggal karena jantung: $210$. Yang meninggal karena jantung dengan riwayat keluarga ($J\cap B$): $102$. Maka yang meninggal karena jantung tanpa riwayat keluarga ($J\cap B^c$): $|J\cap B^c|=210-102=108$

Langkah 3: Hitung $|B^c|$ — Ukuran Kelompok Kondisi

$|B^c|=937-312=625$

Langkah 4: Hitung Probabilitas Bersyarat

$P(J\mid B^c)=\frac{|J\cap B^c|}{|B^c|}=\frac{108}{625}=0,1728\approx 0,173$

Tabel Lengkap setelah diisi:

	Jantung ($J$)	Bukan Jantung ($J^c$)	Total
Riwayat keluarga ($B$)	$102$	$210$	$312$
Tidak ada riwayat ($B^c$)	$108$	$517$	$625$
Total	$210$	$727$	$937$

Hasil Akhir: (b). $0,173$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menjawab $\frac{108}{937}\approx 0,115$ — ini adalah $P(J\cap B^c)$, probabilitas gabungan, bukan probabilitas bersyarat. Penyebut yang benar adalah $|B^c|=625$, bukan total populasi $937$.
• Mengira $P(J\mid B^c)=P(J)-P(J\mid B)=\frac{210}{937}-\frac{102}{312}$ — operasi ini tidak valid dalam probabilitas.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Tidak ada satupun dari orangtuanya yang meninggal karena penyakit jantung” = komplemen dari “setidaknya satu orang tua meninggal karena jantung”. Kelompok $B^c$ terdiri dari $937-312=625$ orang.
• “Dari 312 orang ini, 102 meninggal karena jantung” → $|J\cap B|=102$, bukan $|J\cap B^c|=102$.

Red Flags

• Jika soal memberikan data frekuensi absolut (bukan probabilitas langsung) → gunakan pendekatan counting: hitung jumlah orang yang memenuhi kondisi, bagi dengan ukuran kelompok kondisi.
• Jika ada kondisi “diketahui bahwa…” → penyebut adalah ukuran kelompok kondisi (di sini $|B^c|=625$), bukan total populasi.

---

No. 14

Suatu Perusahaan asuransi menerbitkan 1250 polis produk kesehatan mata. Banyaknya klaim yang diajukan oleh pemegang polis dari polis produk ini dalam setahun diketahui mengikuti distribusi Poisson dengan rataan 2. Asumsikan bahwa banyaknya klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis saling bebas antara satu sama lain. Berapakah peluang aproksimasi dari banyaknya klaim yang diajukan dalam satu tahun berada di antara 2450 dan 2600 klaim? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,68$
b. $0,82$
c. $0,87$
d. $0,95$
e. $1,00$

Jawaban No. 14

(b). $0,82$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	4.4 Hukum Bilangan Besar (LLN)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.5; Miller Bab 8

Rumus Teorema Limit Pusat (CLT): Untuk $X_1,X_2,\dots ,X_n$ i.i.d. dengan $E[X_i]=\mu$ dan $\text{Var}(X_i)={\sigma }^2$, maka untuk $n$ besar: $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i\stackrel{a}{\sim }N(n\mu ,n{\sigma }^2)$ Sifat Poisson: Untuk $X\sim \text{Poisson}(\lambda )$: $E[X]=\lambda$ dan $\text{Var}(X)=\lambda$ (mean = variansi).

Standarisasi: $Z=\frac{S-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}\stackrel{a}{\sim }N(0,1)$

Diketahui:

• $n=1250$ polis, masing-masing $X_i\sim \text{Poisson}(\lambda =2)$, saling bebas

• $E[X_i]=\lambda =2$, $\text{Var}(X_i)=\lambda =2$

• $S=\sum _{i=1}^{1250}{X}_i$ = total klaim dalam setahun

• Target: $P(2450\le S\le 2600)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Tentukan Parameter Distribusi $S$

Karena $X_i$ saling bebas dan identik: $E[S]=n\cdot E[X_i]=1250\times 2=2500$ $\text{Var}(S)=n\cdot \text{Var}(X_i)=1250\times 2=2500$ $\text{SD}(S)=\sqrt{2500}=50$

Karena $n=1250$ sangat besar, oleh CLT: $S\stackrel{a}{\sim }N(2500,2500)$

Langkah 2: Standarisasi Batas-Batas Interval

$P(2450\le S\le 2600)\approx P\left(\frac{2450-2500}{50}\le Z\le \frac{2600-2500}{50}\right)$ $=P\left(\frac{-50}{50}\le Z\le \frac{100}{50}\right)=P(-1\le Z\le 2)$

Langkah 3: Hitung Probabilitas dari Tabel Normal Standar

$P(-1\le Z\le 2)=\Phi (2)-\Phi (-1)$

Dari tabel:

• $\Phi (2)=0,9772$
• $\Phi (-1)=1-\Phi (1)=1-0,8413=0,1587$

$P(-1\le Z\le 2)=0,9772-0,1587=0,8185\approx 0,82$

Hasil Akhir: (b). $0,82$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Salah menghitung variansi $S$: menggunakan $\text{Var}(S)=n\cdot {\lambda }^2=1250\times 4=5000$ → $\text{SD}(S)=\sqrt{5000}\approx 70,7$. Ini keliru karena untuk Poisson, variansi = mean = $\lambda$, bukan ${\lambda }^2$.
• Salah menghitung batas bawah: $\frac{2450-2500}{50}=-1$ (benar), tetapi beberapa salah hitung menjadi $\frac{2450}{50}=49$.
• Lupa bahwa $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$, sehingga $\Phi (-1)=1-0,8413=0,1587$, bukan $-0,8413$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Berada di antara 2450 dan 2600” — standarisasi menggunakan kedua batas (bawah dan atas). Jangan hanya menghitung $P(S\le 2600)$ atau $P(S\ge 2450)$ secara terpisah.
• $n=1250$ adalah jumlah polis (bukan klaim). Total klaim $S$ adalah jumlahan dari 1250 variabel acak.

Red Flags

• Untuk distribusi Poisson, selalu ingat: $E[X]=\text{Var}(X)=\lambda$. Ini berbeda dari distribusi Binomial di mana $\text{Var}(X)=np(1-p)\ne np=E[X]$.
• Soal menyebut “peluang aproksimasi” → sinyal kuat untuk menggunakan CLT + normal standar.
• Setelah standarisasi: cek apakah $z$-score masuk akal (biasanya antara $-3$ dan $3$ untuk rentang yang “wajar”).

---

No. 15

Suatu polis asuransi kumpulan memberikan proteksi kesehatan kepada para karyawan di suatu perusahaan mikro. Nilai klaim dalam setahun yang dinyatakan oleh $V$ didefinisikan sebagai $V=100.000\cdot Y$ dengan $Y$ merupakan variabel random dengan fungsi kepadatan peluang:

$f(y)=\{\begin{array}{ll}k(1-y{)}^4,& \text{untuk }0<y<1\\ 0,& \text{selainnya}\end{array}$

dengan $k$ merupakan suatu konstanta. Berapakah peluang bersyarat dari $V$ melebihi 40.000, jika diketahui $V$ melebihi 10.000? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,08$
b. $0,13$
c. $0,17$
d. $0,20$
e. $0,51$

Jawaban No. 15

(b). $0,13$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu, 1.4 Probabilitas Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.2; Miller Bab 4

Rumus Normalisasi PDF: ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(y)dy=1$ digunakan untuk menentukan konstanta $k$.

Probabilitas Bersyarat untuk variabel kontinu: $P(V>a\mid V>b)=\frac{P(V>a\cap V>b)}{P(V>b)}$ Jika $a>b$, maka $\{V>a\}\subset \{V>b\}$, sehingga $P(V>a\cap V>b)=P(V>a)$: $P(V>a\mid V>b)=\frac{P(V>a)}{P(V>b)}\text{untuk }a>b$

Konversi $V$ ke $Y$: $V=100.000\cdot Y$, sehingga $V>c\iff Y>\frac{c}{100.000}$.

Diketahui:

• $f(y)=k(1-y{)}^4$ untuk $0<y<1$

• $V=100.000\cdot Y$

• Konversi batas: $V>40.000\iff Y>0,4$ dan $V>10.000\iff Y>0,1$

• Karena $0,4>0,1$: $P(V>40.000\mid V>10.000)=\frac{P(Y>0,4)}{P(Y>0,1)}$

• Target: nilai probabilitas bersyarat tersebut

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Tentukan Konstanta $k$ dari Kondisi Normalisasi

${\int }_0^{1}k(1-y{)}^{4}dy=1$

Hitung integralnya dengan substitusi $u=1-y$, $du=-dy$: ${\int }_0^1(1-y{)}^{4}dy={\int }_1^0{u}^4(-du)={\int }_0^1{u}^{4}du={\left[\frac{u^5}{5}\right]}_0^1=\frac{1}{5}$

Sehingga: $k\cdot \frac{1}{5}=1⟹k=5$

Jadi $f(y)=5(1-y{)}^4$ untuk $0<y<1$.

Langkah 2: Hitung $P(Y>0,4)$ — Pembilang

$P(Y>0,4)={\int }_{0,4}^{1}5(1-y{)}^{4}dy$

Gunakan anti-turunan: $\int 5(1-y{)}^{4}dy=-\frac{5(1-y{)}^5}{5}=-(1-y{)}^5$

$={\left[-(1-y{)}^5\right]}_{0,4}^1=-(1-1{)}^5-(-(1-0,4{)}^5)=0+(0,6{)}^5$

Hitung $(0,6{)}^5$: $(0,6{)}^2=0,36;(0,6{)}^4=0,1296;(0,6{)}^5=0,6\times 0,1296=0,07776$

$P(Y>0,4)=0,07776$

Langkah 3: Hitung $P(Y>0,1)$ — Penyebut

$P(Y>0,1)={\left[-(1-y{)}^5\right]}_{0,1}^1=0+(1-0,1{)}^5=(0,9{)}^5$

Hitung $(0,9{)}^5$: $(0,9{)}^2=0,81;(0,9{)}^4=0,6561;(0,9{)}^5=0,9\times 0,6561=0,59049$

$P(Y>0,1)=0,59049$

Langkah 4: Hitung Probabilitas Bersyarat

$P(V>40.000\mid V>10.000)=\frac{P(Y>0,4)}{P(Y>0,1)}=\frac{0,07776}{0,59049}=0,1317\approx 0,13$

Hasil Akhir: (b). $0,13$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Lupa menentukan $k$: menggunakan $f(y)=(1-y{)}^4$ dengan $k=1$. Ini menghasilkan ${\int }_0^1(1-y{)}^{4}dy=1/5\ne 1$, artinya $f$ bukan PDF yang valid. Selalu tentukan $k$ terlebih dahulu.
• Salah mengidentifikasi pembilang: menggunakan $P(10.000<V\le 40.000)$ sebagai pembilang. Karena $40.000>10.000$, berlaku $\{V>40.000\}\subset \{V>10.000\}$, sehingga pembilang adalah $P(V>40.000)$, bukan $P(10.000<V\le 40.000)$.
• Salah menghitung anti-turunan: $\int 5(1-y{)}^{4}dy=-(1-y{)}^5+C$. Pastikan tanda negatif diperhatikan (dari chain rule: turunan $(1-y{)}^5$ adalah $-5(1-y{)}^4$).

Kesalahan Interpretasi Soal

• “V melebihi 40.000” = $V>40.000$ (strict inequality). Untuk variabel kontinu, $P(V=40.000)=0$ sehingga $P(V>40.000)=P(V\ge 40.000)$ — tidak ada perbedaan numerik.
• Konversi yang benar: $V=100.000\cdot Y$, sehingga $V>40.000\iff 100.000Y>40.000\iff Y>0,4$.

Red Flags

• Jika PDF memuat konstanta $k$ yang tidak diketahui → selalu tentukan $k$ dulu sebelum menghitung probabilitas apapun.
• Pola $P(V>a\mid V>b)$ dengan $a>b$ → sederhanakan langsung menjadi $\frac{P(V>a)}{P(V>b)}$ (karena irisan $=P(V>a)$).
• Bentuk $f(y)=k(1-y{)}^n$ pada $[0,1]$ → ini distribusi Beta(1, n+1) dengan $k=n+1$. Di sini $n=4$, sehingga $k=5$. Berguna sebagai pengecekan cepat.

---

No. 16

Seorang dokter melakukan studi mengenai hubungan antara tekanan darah dan ketidaknormalan detak jantung pada para pasiennya. Ia melakukan pengujian secara acak kepada para pasiennya dan mencatat tekanan darah mereka (tinggi, rendah, atau normal) dan detak jantungnya (normal atau tidak normal). Berdasarkan hasil riset yang ia lakukan, didapatkan informasi sebagai berikut:

(i) $14\%$ memiliki tekanan darah tinggi
(ii) $22\%$ memiliki tekanan darah rendah
(iii) $15\%$ memiliki detak jantung tidak normal
(iv) Bagi mereka yang memiliki detak jantung tidak normal, sepertiganya memiliki tekanan darah tinggi
(v) Bagi mereka yang memiliki tekanan darah normal, seperdelapannya memiliki detak jantung tidak normal

Berapakah porsi dari pasien yang terpilih dalam pengujian memiliki detak jantung normal dan tekanan darah rendah?

a. $2\%$
b. $5\%$
c. $8\%$
d. $9\%$
e. $20\%$

Jawaban No. 16

(e). $20\%$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.4 Probabilitas Bersyarat, 1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

Rumus Definisi Probabilitas Bersyarat (digunakan untuk menghitung probabilitas gabungan): $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B)$ Hukum Probabilitas Total (untuk partisi $\{T_1,T_2,T_3\}$ dari ruang sampel): $P(D^{\prime })=P(T_1\cap D^{\prime })+P(T_2\cap D^{\prime })+P(T_3\cap D^{\prime })$ Komplemen: $P(T_{\text{rendah}}\cap D)=P(T_{\text{rendah}})-P(T_{\text{rendah}}\cap D^{\prime })$

Diketahui:

• Definisikan kejadian:

  • $T_t$ = tekanan darah tinggi, $T_r$ = tekanan darah rendah, $T_n$ = tekanan darah normal
  • $D$ = detak jantung normal, $D^{\prime }$ = detak jantung tidak normal

• Dari kondisi soal:

  • (i) $P(T_t)=0,14$
  • (ii) $P(T_r)=0,22$
  • (iii) $P(D^{\prime })=0,15$, sehingga $P(D)=0,85$
  • (iv) $P(T_t\mid D^{\prime })=\frac{1}{3}$
  • (v) $P(D^{\prime }\mid T_n)=\frac{1}{8}$

• $P(T_n)=1-P(T_t)-P(T_r)=1-0,14-0,22=0,64$

• Target: $P(T_r\cap D)$

Langkah Pengerjaan

Strategi: Kita akan mengisi sel-sel “tabel 3×2” secara sistematis (3 kategori tekanan darah × 2 kategori detak jantung).

Langkah 1: Hitung $P(T_t\cap D^{\prime })$ dari Kondisi (iv)

Dari definisi probabilitas bersyarat: $P(T_t\cap D^{\prime })=P(D^{\prime })\cdot P(T_t\mid D^{\prime })$ $P(T_t\cap D^{\prime })=0,15\times \frac{1}{3}=0,05$

Langkah 2: Hitung $P(T_n\cap D^{\prime })$ dari Kondisi (v)

Dari definisi probabilitas bersyarat: $P(T_n\cap D^{\prime })=P(T_n)\cdot P(D^{\prime }\mid T_n)$ $P(T_n\cap D^{\prime })=0,64\times \frac{1}{8}=0,08$

Langkah 3: Hitung $P(T_r\cap D^{\prime })$ dari Hukum Probabilitas Total

Tekanan darah $\{T_t,T_r,T_n\}$ adalah partisi dari ruang sampel, sehingga: $P(D^{\prime })=P(T_t\cap D^{\prime })+P(T_r\cap D^{\prime })+P(T_n\cap D^{\prime })$ $0,15=0,05+P(T_r\cap D^{\prime })+0,08$ $P(T_r\cap D^{\prime })=0,15-0,05-0,08=0,02$

Langkah 4: Hitung $P(T_r\cap D)$ — Target

Karena $\{D,D^{\prime }\}$ adalah partisi: $P(T_r)=P(T_r\cap D)+P(T_r\cap D^{\prime })$ $0,22=P(T_r\cap D)+0,02$ $P(T_r\cap D)=0,22-0,02=0,20$

Tabel Lengkap (sebagai verifikasi):

	Detak Normal ($D$)	Detak Tidak Normal ($D^{\prime }$)	Total
Tekanan Tinggi ($T_t$)	$0,09$	$0,05$	$0,14$
Tekanan Rendah ($T_r$)	$0,20$	$0,02$	$0,22$
Tekanan Normal ($T_n$)	$0,56$	$0,08$	$0,64$
Total	$0,85$	$0,15$	$1,00$

Hasil Akhir: (e). $20\%$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menjawab $P(T_r\cap D^{\prime })=0,02$ (opsi a) — ini adalah irisan tekanan rendah dengan detak tidak normal, bukan detak normal. Soal meminta detak normal.
• Salah mengidentifikasi kondisi (iv) dan (v): kondisi (iv) adalah $P(T_t\mid D^{\prime })=1/3$ (tekanan tinggi diketahui detak tidak normal), bukan $P(D^{\prime }\mid T_t)=1/3$. Arah kondisi harus benar sebelum menggunakan rumus perkalian.
• Mengira $P(T_t\cap D^{\prime })$ bisa dihitung sebagai $P(T_t)\times P(D^{\prime })=0,14\times 0,15=0,021$ — ini hanya valid jika $T_t$ dan $D^{\prime }$ independen, yang belum tentu benar.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Kondisi (v): “bagi mereka yang memiliki tekanan darah normal, seperdelapannya memiliki detak jantung tidak normal” = $P(D^{\prime }\mid T_n)=1/8$, bukan $P(T_n\mid D^{\prime })=1/8$.
• Target soal adalah $P(T_r\cap D)$ = detak normal DAN tekanan rendah — perhatikan kedua kondisi ini harus dipenuhi sekaligus.

Red Flags

• Soal dengan multiple kondisi bersyarat dan beberapa kategori → susun tabel 2D terlebih dahulu, isi sel yang bisa dihitung langsung, lalu gunakan sifat baris/kolom menjumlahkan ke total marginal untuk mencari sel yang belum diketahui.
• Hukum probabilitas total: $P(D^{\prime })={\sum }_{i}P(T_i\cap D^{\prime })$ — ini adalah kunci Langkah 3 yang menghubungkan informasi kondisi (iv) dan (v) untuk menemukan $P(T_r\cap D^{\prime })$.

---

No. 17

Misal $X$ dan $Y$ merupakan profit bulanan Perusahaan I dan II, secara berurutan. Profit bulanan dari Perusahaan I dapat dimodelkan dengan menggunakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan $f_X(x)$. Perusahaan II memiliki profit bulanan senilai dua kali Perusahaan I. Tentukan fungsi kepekatan peluang dari profit bulanan Perusahaan II!

a. $\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$
b. $f_X\left(\frac{y}{2}\right)$
c. $2f_X\left(\frac{y}{2}\right)$
d. $2f_X(y)$
e. $2f_X(2y)$

Jawaban No. 17

(a). $\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.7; Miller Bab 4.4

Rumus Teknik CDF untuk Transformasi Monoton Meningkat ($Y=g(X)$):

Langkah:

1. Nyatakan $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$ dalam bentuk $F_X$
2. Turunkan: $f_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_Y(y)$

Ekuivalen — Rumus Jacobian (Change of Variable): $f_Y(y)=f_X\left(g^{-1}(y)\right)\cdot \left|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)\right|$ di mana $g^{-1}(y)$ adalah invers dari transformasi $y=g(x)$.

Diketahui:

• $Y=2X$ (profit Perusahaan II = dua kali profit Perusahaan I)

• $f_X(x)$ diketahui (bentuk umum, tidak dispesifikasi)

• Target: $f_Y(y)$

Langkah Pengerjaan

Metode 1: Teknik CDF (Lebih Fundamental, Direkomendasikan untuk Pemahaman)

Langkah 1: Nyatakan CDF $Y$ dalam CDF $X$

$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(2X\le y)=P\left(X\le \frac{y}{2}\right)=F_X\left(\frac{y}{2}\right)$

(Tanda pertidaksamaan tidak berubah karena membagi kedua sisi dengan $2>0$.)

Langkah 2: Turunkan untuk Mendapat PDF $Y$

$f_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_X\left(\frac{y}{2}\right)$

Gunakan chain rule: $\frac{d}{dy}{F}_X\left(\frac{y}{2}\right)=f_X\left(\frac{y}{2}\right)\cdot \frac{d}{dy}\left(\frac{y}{2}\right)=f_X\left(\frac{y}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}$

$f_Y(y)=\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$

Metode 2: Rumus Jacobian (Lebih Cepat)

Transformasi: $y=g(x)=2x$. Invers: $x=g^{-1}(y)=y/2$.

Jacobian: $\left|\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{2}\right)\right|=\frac{1}{2}$

Substitusi ke rumus: $f_Y(y)=f_X\left(\frac{y}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$

Verifikasi Normalisasi (sanity check): ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)dy$ Substitusi $u=y/2$, $du=dy/2$, sehingga $dy=2du$: $={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{2}{f}_X(u)\cdot 2du={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(u)du=1✓$

Hasil Akhir: (a). $\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Menulis $f_Y(y)=f_X(y/2)$ tanpa faktor $1/2$ (opsi b) — ini melanggar normalisasi: $\int f_X(y/2)dy=2\ne 1$. Faktor Jacobian wajib ada untuk menjaga total probabilitas tetap 1.
• Mengira Jacobian adalah $|dy/dx|=2$ (turunan $Y$ terhadap $X$) — Jacobian yang digunakan dalam rumus transformasi PDF adalah $|dx/dy|=1/2$ (turunan invers), bukan $|dy/dx|$.
• Memilih opsi (c) $2f_X(y/2)$ — ini mengalikan dengan $|dy/dx|=2$ (keliru) alih-alih $|dx/dy|=1/2$.
• Memilih opsi (e) $2f_X(2y)$ — ini menggunakan argumen $2y$ (bukan $y/2$) dan faktor 2, keduanya keliru.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Profit dua kali lipat” berarti $Y=2X$, bukan $X=2Y$. Arah yang benar: Perusahaan II = 2 × Perusahaan I.

Red Flags

• Formula umum untuk $Y=aX+b$ (transformasi linear, $a\ne 0$): $f_Y(y)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{y-b}{a}\right)$ Untuk $Y=2X$ (yaitu $a=2$, $b=0$): $f_Y(y)=\frac{1}{2}{f}_X\left(\frac{y}{2}\right)$ ✓
• Jika $a>1$ (memperlebar distribusi), faktor depan $1/|a|<1$ → PDF “menjadi lebih rendah tapi lebih lebar”. Ini masuk akal secara intuitif.
• Selalu verifikasi: hasilnya harus terintegrasi ke 1 atas seluruh support.

---

No. 18

Masa hidup dari suatu mesin pencetak seharga 200 juta diketahui mengikuti distribusi eksponensial dengan rataan 2 tahun. Pabrik dari mesin pencetak setuju untuk memberikan pengembalian dana penuh kepada pembeli jika mesin pencetak mengalami kerusakan dalam kurun waktu satu tahun sejak pembelian dan pengembalian dana sebagian jika kerusakan terjadi di tahun kedua. Jika pabrik mencetak 100 mesin pencetak, berapakah nilai ekspektasi pengembalian dana yang dibayarkan? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $6.321$ juta
b. $7.358$ juta
c. $7.869$ juta
d. $10.256$ juta
e. $12.642$ juta

Jawaban No. 18

(d). $10.256$ juta

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Connected Topics	2.1 Variabel Acak Diskrit
Referensi	SOA Exam P Sample Q No. 35; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.3; Miller Bab 5.4

Rumus CDF distribusi Eksponensial (parametrisasi skala $\theta =1/\lambda$): $F(t)=1-e^{-t/\theta },t>0$ Probabilitas gagal di interval $(a,b]$: $P(a<T\le b)=F(b)-F(a)=e^{-a/\theta }-e^{-b/\theta }$ Ekspektasi dana pengembalian untuk satu mesin: $E[R]={\sum }_{\text{skenario}}(\text{besar refund})\times P(\text{skenario})$

Diketahui:

• $T\sim \text{Exp}(\theta =2)$ (rata-rata masa hidup = 2 tahun)

• Harga mesin: 200 juta

• Kebijakan refund:

  • Rusak di tahun ke-1 (i.e., $T\le 1$): refund penuh = 200 juta
  • Rusak di tahun ke-2 (i.e., $1<T\le 2$): refund setengah = 100 juta
  • Rusak setelah tahun ke-2 ($T>2$): refund nol = 0

• Jumlah mesin: 100 unit

• Target: $E[\text{Total Refund}]=100\times E[R]$, di mana $R$ adalah refund untuk satu mesin

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung Probabilitas Tiap Skenario

Karena $T\sim \text{Exp}(\theta =2)$, maka $F(t)=1-e^{-t/2}$.

Skenario 1 — Rusak di tahun ke-1, $P(T\le 1)$: $P(T\le 1)=1-e^{-1/2}=1-e^{-0,5}$

Skenario 2 — Rusak di tahun ke-2, $P(1<T\le 2)$: $P(1<T\le 2)=F(2)-F(1)=e^{-1/2}-e^{-1}=e^{-0,5}-e^{-1}$

Skenario 3 — Bertahan lebih dari 2 tahun, $P(T>2)$: $P(T>2)=e^{-1}\text{(tidak perlu dihitung, refundnya 0)}$

Langkah 2: Hitung Ekspektasi Refund untuk Satu Mesin

Refund $R$ adalah variabel acak diskrit dengan tiga nilai kemungkinan:

$E[R]=200\cdot P(T\le 1)+100\cdot P(1<T\le 2)+0\cdot P(T>2)$

Substitusi: $E[R]=200(1-e^{-0,5})+100(e^{-0,5}-e^{-1})$

Langkah 3: Sederhanakan Secara Aljabar

Distribusikan konstanta: $E[R]=200-200e^{-0,5}+100e^{-0,5}-100e^{-1}$ $E[R]=200-100e^{-0,5}-100e^{-1}$ $E[R]=200-100\left(e^{-0,5}+e^{-1}\right)$

Langkah 4: Hitung Numerik

Nilai numerik eksak: $e^{-0,5}\approx 0,60653,e^{-1}\approx 0,36788$

$e^{-0,5}+e^{-1}\approx 0,60653+0,36788=0,97441$

$E[R]=200-100\times 0,97441=200-97,441=102,559\text{ juta}$

Tunggu — satuan perlu dicek. Karena harga mesin adalah 200 juta, seluruh perhitungan sudah dalam satuan juta rupiah. Jadi $E[R]\approx 102,559$ juta untuk satu mesin.

Perhatikan satuan refund

Soal menyebut harga 200 juta dan meminta jawaban dalam satuan juta. Pastikan angka 200 dan 100 di atas diperlakukan sebagai satuan juta.

Langkah 5: Kalikan dengan 100 Mesin

$E[\text{Total Refund}]=100\times E[R]=100\times 102,559\approx 10.256\text{ juta}$

Verifikasi cepat: Jawaban ini masuk akal secara intuitif — rata-rata masa hidup hanya 2 tahun, sehingga banyak mesin yang rusak di 2 tahun pertama. Total refund $\approx$ 10.256 juta dari potensi maksimum $100\times 200=20.000$ juta (jika semua rusak di tahun pertama) adalah sekitar 51%, yang wajar mengingat distribusi eksponensial memiliki probabilitas tinggi untuk kejadian awal.

Hasil Akhir: (d). $10.256$ juta

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Salah menentukan refund tahun ke-2. Soal bilang “pengembalian sebagian” — tanpa menyebut angkanya secara eksplisit. Ini adalah jebakan klasik: kita harus mengasumsikan bahwa “sebagian” = setengah (½ × 200 = 100 juta). Soal ini memang identik dengan SOA Sample Q No. 35 di mana refund tahun ke-2 secara eksplisit adalah $\frac{1}{2}$ dari harga. Jika soal tidak menyebutkan secara eksplisit, baca ulang soal atau cek dari opsi jawaban mana yang cocok.
• Lupa bahwa $E[R]$ adalah ekspektasi untuk SATU mesin, lalu lupa dikalikan 100. Ini akan menghasilkan jawaban sekitar 102,56 juta (tidak ada di opsi), bukan 10.256 juta.
• Salah parametrisasi Eksponensial. Rataan = 2 tahun berarti $\theta =2$ (parameter skala) atau $\lambda =1/2$ (parameter laju). Gunakan $e^{-t/2}$, bukan $e^{-2t}$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Rusak dalam kurun waktu satu tahun” = $T\le 1$, bukan $T<1$ (untuk distribusi kontinu keduanya sama, tapi penting untuk dipahami batasnya).
• “Rusak di tahun kedua” = $1<T\le 2$ (bukan $T=2$ atau $T>1$ tanpa batas atas). Batas atas adalah $T=2$; setelah itu tidak ada refund.
• “100 mesin” adalah pengali akhir, bukan parameter distribusi. Jangan memasukkan angka 100 ke dalam perhitungan probabilitas.

Red Flags

• Jika soal menyebut “rataan/mean = $m$” untuk distribusi Eksponensial → parameter skala $\theta =m$, gunakan $e^{-t/m}$ untuk survival function, bukan $e^{-mt}$.
• Jika soal menyebut kebijakan refund berjenjang (full/partial/none) → ini adalah ekspektasi variabel acak diskrit yang nilainya bergantung pada interval waktu. Buat tabel skenario terlebih dahulu.
• Jika hasil perhitungan satu unit tidak ada di opsi, kemungkinan besar kamu belum mengalikan dengan jumlah unit (100 mesin).

---

No. 19

$(X_1,X_2,X_3)$ merupakan vektor acak dengan distribusi multivariat dengan nilai harapan $(0,0,0)$ dan matriks varians kovarians sebagai berikut:

$\mathbf{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}4,0& 1,5& 1,0\\ 1,5& 1,0& 0,5\\ 1,0& 0,5& 1,0\end{array}\right]$

Jika random variabel $W$ didefinisikan menggunakan formula $X_1=a{X}_2+b{X}_3+W$ dan $W$ tidak berkorelasi dengan variabel $X_2$ dan $X_3$, maka koefisien $a$ bernilai:

a. $1$
b. $\frac{4}{3}$
c. $\frac{5}{3}$
d. $2$
e. $\frac{7}{3}$

Jawaban No. 19

(b). $\frac{4}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Difficulty	[ADVANCED]
Prerequisite	3.5 Independensi dan Korelasi, 3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 4.4

Rumus Sifat Linearitas Kovarians: Untuk konstanta $a,b$ dan variabel acak $W,X_2,X_3$: $\text{Cov}(aU+bV+W,X_j)=a\text{Cov}(U,X_j)+b\text{Cov}(V,X_j)+\text{Cov}(W,X_j)$ Notasi Matriks Kovarians: ${\sigma }_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)$, dengan elemen diagonal ${\sigma }_{ii}=\text{Var}(X_i)$.

Diketahui:

• $\mathbf{\Sigma }$: ${\sigma }_{12}=1,5$, ${\sigma }_{13}=1,0$, ${\sigma }_{22}=1,0$, ${\sigma }_{23}=0,5$, ${\sigma }_{33}=1,0$

• $W=X_1-a{X}_2-b{X}_3$ (dari definisi $X_1=a{X}_2+b{X}_3+W$)

• $\text{Cov}(W,X_2)=0$ dan $\text{Cov}(W,X_3)=0$

• Target: nilai $a$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Jabarkan Kondisi $\text{Cov}(W,X_2)=0$

Substitusi $W=X_1-a{X}_2-b{X}_3$: $\text{Cov}(X_1-a{X}_2-b{X}_3,X_2)=0$ Gunakan linearitas kovarians: $\text{Cov}(X_1,X_2)-a\text{Cov}(X_2,X_2)-b\text{Cov}(X_3,X_2)=0$ ${\sigma }_{12}-a{\sigma }_{22}-b{\sigma }_{32}=0$ $1,5-a(1,0)-b(0,5)=0$ a + 0{,}5b = 1{,}5 \tag{1}

Langkah 2: Jabarkan Kondisi $\text{Cov}(W,X_3)=0$

$\text{Cov}(X_1-a{X}_2-b{X}_3,X_3)=0$ ${\sigma }_{13}-a{\sigma }_{23}-b{\sigma }_{33}=0$ $1,0-a(0,5)-b(1,0)=0$ 0{,}5a + b = 1{,}0 \tag{2}

Langkah 3: Selesaikan Sistem Persamaan Linear

Dari persamaan (2): $b=1,0-0,5a$. Substitusi ke persamaan (1): $a+0,5(1,0-0,5a)=1,5$ $a+0,5-0,25a=1,5$ $0,75a=1,0$ $a=\frac{1,0}{0,75}=\frac{4}{3}$

Sebagai pelengkap: $b=1,0-0,5\times \frac{4}{3}=1,0-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.

Hasil Akhir: (b). $a=\frac{4}{3}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Mengira “tidak berkorelasi” berarti $W$ dan $X_j$ independen — padahal tidak berkorelasi hanya berarti $\text{Cov}(W,X_j)=0$. Independensi adalah kondisi yang lebih kuat.
• Salah membaca matriks $\mathbf{\Sigma }$: ingat ${\sigma }_{ij}$ adalah elemen baris $i$, kolom $j$. Matriks ini simetris, sehingga ${\sigma }_{23}={\sigma }_{32}=0,5$.
• Mencoba menghitung $\text{Var}(W)$ terlebih dahulu — tidak perlu untuk mencari $a$.

Kesalahan Interpretasi Soal

• $X_1=a{X}_2+b{X}_3+W$ berarti $W=X_1-a{X}_2-b{X}_3$. Ini adalah regresi linear $X_1$ pada $X_2$ dan $X_3$, dan kondisi ortogonalitas $\text{Cov}(W,X_j)=0$ adalah syarat persamaan normal (normal equations) dalam regresi.

Red Flags

• Soal menyebut ”$W$ tidak berkorelasi dengan $X_j$” → tulis $\text{Cov}(W,X_j)=0$ untuk setiap $j$, lalu bentuk sistem persamaan linear dari elemen-elemen $\mathbf{\Sigma }$.
• Sistem persamaan (1) dan (2) adalah $2\times 2$ — selalu cukup untuk mencari dua koefisien $a$ dan $b$.

---

No. 20

Anda diberikan X dan Y yang keduanya mengikuti distribusi seragam $[0,1]$ dan saling bebas. Diberikan $U=X+Y$ dan $V=\frac{X}{X+Y}$. Tentukan fungsi peluang bersama dari $(U,V)$ yang dievaluasi pada $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$!

a. $0$
b. $\frac{1}{4}$
c. $\frac{1}{3}$
d. $\frac{1}{2}$
e. $1$

Jawaban No. 20

(d). $\frac{1}{2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.6; Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.6

Rumus Teknik Jacobian untuk transformasi bivariat: Jika $(X,Y)\mapsto (U,V)$ adalah transformasi satu-satu dengan invers $(X,Y)=(h_1(U,V),h_2(U,V))$, maka: $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(h_1(u,v),h_2(u,v))\cdot |J|$ dengan Jacobian invers: $J=\det \left(\begin{array}{cc}\partial x/\partial u& \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u& \partial y/\partial v\end{array}\right)$

Diketahui:

• $X,Y\sim U[0,1]$ independen, sehingga $f_{X,Y}(x,y)=1$ untuk $0\le x,y\le 1$

• Transformasi maju: $U=X+Y$, $V=\frac{X}{X+Y}$

• Target: $f_{U,V}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Cari Transformasi Invers $(U,V)\to (X,Y)$

Dari definisi $U=X+Y$ dan $V=X/(X+Y)$: $X=UV\text{dan}Y=U-X=U-UV=U(1-V)$ Jadi: $x=uv$ dan $y=u(1-v)$.

Langkah 2: Hitung Jacobian Invers

$J=\det \left(\begin{array}{cc}\partial x/\partial u& \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u& \partial y/\partial v\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}v& u\\ 1-v& -u\end{array}\right)$ $=v\cdot (-u)-u\cdot (1-v)=-uv-u+uv=-u$ $|J|=|-u|=u$

Langkah 3: Tentukan Support $(U,V)$

Dari $x=uv\ge 0$ dan $y=u(1-v)\ge 0$ dengan $x\le 1$ dan $y\le 1$:

• $u\ge 0$, $0\le v\le 1$
• $x+y=u\le 2$ (karena $x\le 1$ dan $y\le 1$)
• Lebih tepatnya: $0<u\le 2$ dan $0<v<1$, dengan syarat $uv\le 1$ dan $u(1-v)\le 1$

Langkah 4: Tulis PDF Bersama $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(uv,u(1-v))\cdot |J|=1\cdot u=u$ (berlaku pada support yang valid)

Langkah 5: Evaluasi di $(u,v)=(1/2,1/2)$ dan Verifikasi Support

Cek apakah titik $(1/2,1/2)$ berada di support:

• $x=uv=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\in [0,1]$ ✓
• $y=u(1-v)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\in [0,1]$ ✓

Evaluasi: $f_{U,V}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=u=\frac{1}{2}$

Hasil Akhir: (d). $\frac{1}{2}$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Lupa mengalikan dengan $|J|$ — ini adalah kesalahan paling umum dalam soal transformasi bivariat. Tanpa Jacobian, jawabannya keliru menjadi $f_{U,V}=1$.
• Salah menghitung determinan matriks $2\times 2$: ingat $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$.
• Menggunakan Jacobian maju $(x,y)\to (u,v)$ alih-alih Jacobian invers $(u,v)\to (x,y)$. Rumus Jacobian dalam transformasi PDF selalu menggunakan Jacobian invers.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Lupa memverifikasi bahwa titik evaluasi berada di dalam support sebelum menghitung. Jika titik di luar support, PDF-nya $=0$.

Red Flags

• Transformasi bivariat → ikuti prosedur 4 langkah: (1) cari invers, (2) hitung Jacobian invers, (3) tentukan support baru, (4) tulis PDF dan evaluasi.
• Jika $f_{X,Y}(x,y)=1$ (seragam), maka $f_{U,V}(u,v)=|J|$ langsung — sesederhana itu.

---

No. 21

Suatu perusahaan menentukan harga dari asuransi gempa bumi dengan menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:

i. Di setiap tahun kalender, terdapat hanya satu kali gempa bumi
ii. Di setiap tahun kalender, peluang terjadinya gempa bumi sebesar $0,05$
iii. Banyaknya gempa bumi yang terjadi di setiap tahun kalender saling bebas

Dengan menggunakan asumsi di atas, tentukan peluang terjadi kurang dari 3 gempa bumi dalam 20 tahun. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,06$
b. $0,19$
c. $0,38$
d. $0,62$
e. $0,92$

Jawaban No. 21

(e). $0,92$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Miller Bab 5.2

Rumus Distribusi Binomial $X\sim B(n,p)$: $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$ Syarat: $n$ percobaan Bernoulli yang independen dengan peluang sukses tetap $p$.

Diketahui:

• Setiap tahun: independen, peluang gempa $p=0,05$, paling banyak 1 gempa per tahun (asumsi i)

• Jumlah tahun: $n=20$

• $X$ = banyaknya tahun yang terjadi gempa dalam 20 tahun → $X\sim B(20,0,05)$

• Target: $P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung $P(X=0)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0}\right)(0,05{)}^0(0,95{)}^{20}=1\times 1\times (0,95{)}^{20}$ $(0,95{)}^{20}=e^{20\ln (0,95)}=e^{20\times (-0,05129)}=e^{-1,0258}\approx 0,35849$

Langkah 2: Hitung $P(X=1)$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{1}\right)(0,05{)}^1(0,95{)}^{19}=20\times 0,05\times \frac{(0,95{)}^{20}}{0,95}$ $=1\times \frac{0,35849}{0,95}=20\times 0,05\times 0,37736=0,37736$

Langkah 3: Hitung $P(X=2)$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)(0,05{)}^2(0,95{)}^{18}=190\times 0,0025\times \frac{(0,95{)}^{20}}{(0,95{)}^2}$ $=190\times 0,0025\times \frac{0,35849}{0,9025}=190\times 0,0025\times 0,39722=0,18868$

Langkah 4: Jumlahkan Ketiga Probabilitas

$P(X<3)=0,35849+0,37736+0,18868=0,92453\approx 0,92$

Verifikasi via Aproksimasi Poisson (opsional, untuk mengecek kewajaran): Dengan $\lambda =np=20\times 0,05=1$, dan $X\approx \text{Poisson}(1)$: $P(X<3)\approx e^{-1}\left(1+1+\frac{1}{2}\right)=e^{-1}\times 2,5=0,920✓$

Hasil Akhir: (e). $0,92$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Salah mengidentifikasi distribusi: mengira ini distribusi Poisson secara langsung. Soal secara eksplisit menyebut Bernoulli per tahun dengan $n$ terbatas → Binomial. Poisson hanya sebagai aproksimasi.
• Salah menghitung $(0,95{)}^{19}$ atau $(0,95{)}^{18}$: gunakan hubungan rekursif $(0,95{)}^{k-1}=(0,95{)}^k/0,95$ untuk efisiensi.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Kurang dari 3” = $\{X=0\}\cup \{X=1\}\cup \{X=2\}$, tidak mencakup $X=3$. Jika soal mengatakan “paling banyak 3” atau “tidak lebih dari 3”, barulah $X=3$ dimasukkan.

Red Flags

• Jika ada kata “saling bebas” + peluang tetap per periode + jumlah periode terbatas → $X\sim \text{Binomial}$.
• Gunakan aproksimasi Poisson ($\lambda =np$) hanya untuk verifikasi, bukan sebagai jawaban utama saat $n$ kecil.

---

No. 22

Anda merupakan seorang aktuaris yang bertanggung jawab dalam melakukan negosiasi terhadap kontrak reasuransi di perusahaan tempat anda bekerja. Anda menentukan bahwa besar kerugian (dalam juta) yang ingin direasuransikan mengikuti distribusi seragam pada interval $[1000,2000]$. Anda memiliki dua pilihan skema kontrak reasuransi untuk risiko ini:

(i) Kontrak pertama membayarkan klaim reasuransi sebesar $90\%$ dari besar kerugian, sedangkan
(ii) Kontrak kedua membayarkan klaim reasuransi hingga limit maksimum, dimana nilai limit ditentukan sedemikian sehingga nilai harapan dari klaim reasuransi dari kedua kontrak bernilai sama.

Hitunglah rasio dari varians klaim reasuransi atas kontrak kedua terhadap varians klaim reasuransi atas kontrak pertama! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $1,5$
b. $2,0$
c. $0,9$
d. $0,6$
e. $0,3$

Jawaban No. 22

(e). $0,3$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.1; Miller Bab 4

Rumus Untuk $X\sim U[a,b]$: $E[X]=\frac{a+b}{2}$, $\text{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$, $f(x)=\frac{1}{b-a}$.

Variansi transformasi linear: $\text{Var}(cX)=c^2\text{Var}(X)$.

Variansi LEV $Y_2=\min (X,L)$: $E[Y_2^2]={\int }_a^L{x}^2\cdot \frac{1}{b-a}dx+L^2\cdot P(X>L)$ $\text{Var}(Y_2)=E[Y_2^2]-(E[Y_2]{)}^2$

Diketahui:

• $X\sim U[1000,2000]$: rataan $=1500$, variansi $=\frac{(1000{)}^2}{12}=\frac{10^6}{12}$

• Kontrak 1: $Y_1=0,9X$ (proporsional)

• Kontrak 2: $Y_2=\min (X,L)$ (limited payment) dengan $E[Y_2]=E[Y_1]$

• Target: $\frac{\text{Var}(Y_2)}{\text{Var}(Y_1)}$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Hitung $E[Y_1]$ dan $\text{Var}(Y_1)$

$E[Y_1]=0,9\times E[X]=0,9\times 1500=1350$ $\text{Var}(Y_1)=(0,9{)}^2\times \text{Var}(X)=0,81\times \frac{10^6}{12}=\frac{810.000}{12}=67.500$

Langkah 2: Cari Limit $L$ dari Syarat $E[Y_2]=1350$

Karena $L$ harus berada dalam $[1000,2000]$, dan $f(x)=1/1000$: $E[\min (X,L)]={\int }_{1000}^{L}x\cdot \frac{1}{1000}dx+L\cdot {\int }_L^{2000}\frac{1}{1000}dx$ $=\frac{1}{1000}\cdot \frac{L^2-1000^2}{2}+\frac{L(2000-L)}{1000}$ $=\frac{L^2-10^6}{2000}+\frac{2000L-L^2}{1000}=\frac{L^2-10^6+4000L-2L^2}{2000}$ $=\frac{-L^2+4000L-10^6}{2000}=1350$ $-L^2+4000L-10^6=2.700.000$ $L^2-4000L+3.700.000=0$

Gunakan rumus kuadrat: $L=\frac{4000\pm \sqrt{4000^2-4(3.700.000)}}{2}=\frac{4000\pm \sqrt{16.000.000-14.800.000}}{2}$ $=\frac{4000\pm \sqrt{1.200.000}}{2}=\frac{4000\pm 1095,4}{2}$

Dua solusi: $L\approx 2547,7$ (di luar $[1000,2000]$, ditolak) atau $L\approx 1452,3$ ✓

Langkah 3: Hitung $E[Y_2^2]$

Dengan $L=1452,3$ dan $P(X>L)=\frac{2000-1452,3}{1000}=\frac{547,7}{1000}=0,5477$:

$E[Y_2^2]=\frac{1}{1000}{\int }_{1000}^{1452,3}{x}^{2}dx+(1452,3{)}^2\times 0,5477$ $=\frac{1}{1000}\cdot \frac{(1452,3{)}^3-(1000{)}^3}{3}+(1452,3{)}^2\times 0,5477$

Hitung suku pertama: $(1452,3{)}^3\approx 3,0646\times 10^9$ $\frac{3,0646\times 10^9-10^9}{3000}=\frac{2,0646\times 10^9}{3000}\approx 688.200$

Hitung suku kedua: $(1452,3{)}^2\approx 2,1092\times 10^6$ $2,1092\times 10^6\times 0,5477\approx 1.155.410$

$E[Y_2^2]\approx 688.200+1.155.410=1.843.610$

Langkah 4: Hitung $\text{Var}(Y_2)$

$\text{Var}(Y_2)=E[Y_2^2]-(E[Y_2]{)}^2=1.843.610-(1350{)}^2=1.843.610-1.822.500=21.110$

Langkah 5: Hitung Rasio

$\frac{\text{Var}(Y_2)}{\text{Var}(Y_1)}=\frac{21.110}{67.500}\approx 0,313\approx 0,3$

Hasil Akhir: (e). $0,3$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Lupa bahwa $\text{Var}(cX)=c^2\text{Var}(X)$, bukan $c\cdot \text{Var}(X)$. Koefisien $0,9$ harus dikuadratkan: $(0,9{)}^2=0,81$.
• Salah dalam mengintegrasikan $E[\min (X,L)]$: harus dibagi dua bagian — satu untuk $X\le L$ (bayar $X$) dan satu untuk $X>L$ (bayar $L$).
• Mengambil solusi $L=2547,7$ tanpa mengecek apakah $L\in [1000,2000]$ — selalu verifikasi domain solusi.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Kontrak 2 adalah limited payment $\min (X,L)$ (bayar kerugian penuh hingga batas $L$), bukan excess of loss (bayar kelebihan di atas deductible).

Red Flags

• Kontrak proporsional ($cX$) cenderung memiliki variansi lebih besar dari kontrak limited ($\min (X,L)$) dengan mean yang sama, karena kontrak limited memotong ekor distribusi sehingga mengurangi dispersi.
• Rasio $<1$ menandakan kontrak kedua (limited) lebih stabil — masuk akal secara intuisi reasuransi.

---

No. 23

Peluang keterlambatan keberangkatan pesawat terbang dari suatu penerbangan diketahui sebesar $\frac{1}{6}$, dengan setiap satu keberangkatan pesawat terbang diperlakukan sebagai suatu percobaan Bernoulli. Hitunglah peluang setidaknya 40 dari 180 keberangkatan pesawat terbang akan mengalami keterlambatan, menggunakan aproksimasi normal dengan koreksi kontinuitas! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0,0345$
b. $0,0287$
c. $0,0197$
d. $0,0110$
e. $0,0096$

Jawaban No. 23

(b). $0,0287$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.5; Walpole Bab 8.5

Rumus Aproksimasi Normal dengan Koreksi Kontinuitas untuk $X\sim B(n,p)$: $\mu =np,\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ $P(X\ge k)\approx P\left(Z\ge \frac{k-0,5-\mu }{\sigma }\right)$ Alasan koreksi: distribusi Binomial bersifat diskrit, sedangkan Normal bersifat kontinu. Nilai diskrit $X=k$ direpresentasikan sebagai interval kontinu $[k-0,5,k+0,5]$.

Diketahui:

• $n=180$, $p=\frac{1}{6}$

• $\mu =np=180\times \frac{1}{6}=30$

• ${\sigma }^2=np(1-p)=180\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=25$, sehingga $\sigma =5$

• Target: $P(X\ge 40)$ menggunakan aproksimasi Normal dengan koreksi kontinuitas

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Terapkan Koreksi Kontinuitas untuk $P(X\ge 40)$

“Setidaknya 40” berarti $X\ge 40$ (inklusif). Dalam aproksimasi kontinu, ini direpresentasikan sebagai $X_{\text{kontinu}}\ge 40-0,5=39,5$: $P(X\ge 40)\approx P\left(Z\ge \frac{39,5-30}{5}\right)=P\left(Z\ge \frac{9,5}{5}\right)=P(Z\ge 1,90)$

Langkah 2: Hitung dari Tabel Normal Standar

$P(Z\ge 1,90)=1-\Phi (1,90)=1-0,9713=0,0287$

Hasil Akhir: (b). $0,0287$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Tidak menggunakan koreksi kontinuitas: $z=(40-30)/5=2,00$ → $P(Z\ge 2,00)=0,0228$. Ini bukan jawaban yang diminta soal dan tidak menggunakan koreksi yang diminta.
• Koreksi arah yang salah: untuk $P(X\ge k)$, gunakan $k-0,5$ (geser ke kiri). Untuk $P(X\le k)$, gunakan $k+0,5$ (geser ke kanan). Mudah diingat: koreksi selalu ke arah yang memperluas wilayah event.

Kesalahan Interpretasi Soal

• “Setidaknya 40” = $P(X\ge 40)$, inklusif. Berbeda dengan “lebih dari 40” = $P(X>40)=P(X\ge 41)$, yang menggunakan koreksi $40+0,5=40,5$.

Red Flags

• Tabel koreksi kontinuitas yang wajib dihapal:

Kejadian Diskrit	Koreksi Kontinu
$P(X\ge k)$	$P(Z\ge \frac{k-0,5-\mu }{\sigma })$
$P(X>k)$	$P(Z\ge \frac{k+0,5-\mu }{\sigma })$
$P(X\le k)$	$P(Z\le \frac{k+0,5-\mu }{\sigma })$
$P(X<k)$	$P(Z\le \frac{k-0,5-\mu }{\sigma })$

---

No. 24

Anda diberikan informasi sebagai berikut:

i. $P(A\cup B)=0,7$
ii. $P(A\cup B^c)=0,9$

Tentukan $P(A)$!

a. $0,2$
b. $0,3$
c. $0,4$
d. $0,6$
e. $0,8$

Jawaban No. 24

(d). $0,6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.2; Miller Bab 2

Rumus Identitas Probabilitas untuk Dua Kejadian: $P(E)+P(F)=P(E\cup F)+P(E\cap F)$ Ini adalah analog probabilitas dari identitas himpunan $|E|+|F|=|E\cup F|+|E\cap F|$.

Sifat Komplementer: $B\cup B^c=\Omega$ dan $B\cap B^c=\varnothing$.

Diketahui:

• $P(A\cup B)=0,7$

• $P(A\cup B^c)=0,9$

• Target: $P(A)$

Langkah Pengerjaan

Langkah 1: Identifikasi Gabungan dan Irisan dari Dua Kejadian

Terapkan identitas $P(E)+P(F)=P(E\cup F)+P(E\cap F)$ dengan $E=A\cup B$ dan $F=A\cup B^c$:

Hitung gabungan: $(A\cup B)\cup (A\cup B^c)=A\cup B\cup B^c=A\cup \Omega =\Omega$ $\therefore P((A\cup B)\cup (A\cup B^c))=P(\Omega )=1$

Hitung irisan: $(A\cup B)\cap (A\cup B^c)=A\cup (B\cap B^c)=A\cup \varnothing =A$ $\therefore P((A\cup B)\cap (A\cup B^c))=P(A)$

Langkah 2: Substitusi ke Identitas

$P(A\cup B)+P(A\cup B^c)=P(\Omega )+P(A)$ $0,7+0,9=1+P(A)$ $1,6=1+P(A)$ $P(A)=0,6$

Hasil Akhir: (d). $P(A)=0,6$

Jebakan Umum

Kesalahan Konseptual

• Mencoba membentuk sistem persamaan dengan tiga variabel $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ menggunakan rumus $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — ini menghasilkan dua persamaan dengan tiga variabel (underdetermined). Sistem tidak cukup untuk diselesaikan tanpa identitas tambahan.
• Lupa sifat distribusif himpunan: $A\cup (B\cap B^c)=A\cup \varnothing =A$, bukan $(A\cup B)\cap (A\cup B^c)=A\cap B$ atau bentuk keliru lainnya.

Kesalahan Interpretasi Soal

• Mengira $P(A\cup B^c)$ adalah komplemen dari $P(A\cup B)$, sehingga $P(A\cup B^c)=1-P(A\cup B)=0,3$ — ini keliru. $B^c$ adalah komplemen $B$, bukan komplemen $A\cup B$.

Red Flags

• Jika soal memberikan $P(E)$ dan $P(F)$ di mana $E\cup F=\Omega$ → langsung gunakan $P(E)+P(F)=1+P(E\cap F)$ untuk mencari $P(E\cap F)$.
• Selalu cek apakah gabungan dua kejadian bisa disederhanakan menjadi $\Omega$ atau irisan menjadi $\varnothing$ — ini sering menghasilkan solusi yang elegan tanpa perlu variabel tambahan.

---