📊 4.2 — Distribusi Sampel

Ringkasan Cepat

Topik: Distribusi Sampel — Chi-Kuadrat, $t$, dan $F$ dari Sampel Normal | Bobot: ~20–30% | Difficulty: Hard Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5 | Prereq: 2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 4.1 Penarikan Sampel Acak

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 4: Inferensi Statistik	4.2	Menurunkan dan menggunakan distribusi Chi-Kuadrat ${\chi }^2(\nu )$, distribusi-$t$ Student $t(\nu )$, dan distribusi-$F$ $F({\nu }_1,{\nu }_2)$; menghubungkan distribusi-distribusi ini dengan sampel dari populasi Normal; menghitung probabilitas menggunakan sifat dan tabel distribusi sampel; membuktikan distribusi $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$; mengidentifikasi kebebasan $\bar{X}$ dari $S^2$ untuk populasi Normal; menggunakan relasi antar-distribusi ($t^2\sim F$, ${\chi }^2$ sebagai Gamma khusus)	20–30%	Hard	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 4.1 Penarikan Sampel Acak	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT), 4.5 Estimasi Parameter, 4.7 Pengujian Hipotesis, 4.8 Interval Kepercayaan	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5

Section 1 — Intuisi

Saat bekerja dengan sampel dari populasi Normal, tiga distribusi baru muncul secara alami dari statistik sampel yang paling fundamental — mean sampel $\bar{X}$, variansi sampel $S^2$, dan rasio keduanya. Distribusi-distribusi ini bukan sekadar kurva matematis abstrak: masing-masing adalah jawaban atas satu pertanyaan aktuaria yang konkret.

Distribusi Chi-Kuadrat ${\chi }^2(\nu )$ menjawab: “Bagaimana distribusi jumlah kuadrat dari $\nu$ variabel Normal standar independen?” Ia muncul secara alami dari $(n-1)S^2/{\sigma }^2$ — rasio yang mengukur seberapa jauh variansi sampel dari variansi populasi. Jika ${\sigma }^2$ diketahui, ${\chi }^2$ digunakan langsung; jika tidak, ia adalah fondasi untuk interval kepercayaan variansi dan uji kecocokan distribusi.

Distribusi-$t$ Student $t(\nu )$ menjawab: “Bagaimana mendistribusikan $\bar{X}$ jika ${\sigma }^2$ tidak diketahui dan harus diestimasi dari data?” Dalam praktik, ${\sigma }^2$ populasi hampir tidak pernah diketahui — kita hanya punya $S^2$. Maka daripada $Z=(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})$ (yang memerlukan $\sigma$ diketahui), kita gunakan $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$. Distribusi ini memiliki ekor lebih tebal dari Normal standar, mencerminkan ketidakpastian tambahan karena estimasi ${\sigma }^2$.

Distribusi-$F$ $F({\nu }_1,{\nu }_2)$ menjawab: “Bagaimana membandingkan variansi dari dua populasi Normal yang berbeda?” Ia adalah rasio dua Chi-Kuadrat independen yang dibagi derajat kebebasannya masing-masing — alat statistik untuk uji homogenitas variansi antara dua kelompok, misalnya membandingkan risiko dua portofolio asuransi.

Ketiga distribusi ini saling terhubung erat: $t^2(\nu )=F(1,\nu )$; ${\chi }^2(\nu )=\Gamma (\nu /2,2)$; $F({\nu }_1,{\nu }_2)$ diturunkan dari dua ${\chi }^2$ independen. Memahami jaring hubungan ini memungkinkan penyelesaian soal dari berbagai arah — dan kerap menjadi shortcut paling efisien di ujian.

Section 2 — Definisi Formal

Definisi Matematis

Misalkan $Z,Z_1,Z_2,\dots$ adalah variabel acak $N(0,1)$ independen, dan $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$.

Distribusi Chi-Kuadrat: ${\chi }^2(\nu )={\sum }_{i=1}^{\nu }{Z}_i^2,Z_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,1)$

Distribusi-$t$ Student: $T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}\text{di mana }Z\sim N(0,1),V\sim {\chi }^2(\nu ),Z\perp V$

Distribusi-$F$: $F=\frac{U/{\nu }_1}{V/{\nu }_2}\text{di mana }U\sim {\chi }^2({\nu }_1),V\sim {\chi }^2({\nu }_2),U\perp V$

Teorema Sampel Normal (Fisher’s Theorem): Untuk $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$: $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right),\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),\bar{X}\perp S^2$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$\nu$	Derajat kebebasan (degrees of freedom) distribusi ${\chi }^2$ dan $t$	Parameter positif; untuk sampel: $\nu =n-1$
${\nu }_1,{\nu }_2$	Derajat kebebasan numerator dan denominator distribusi $F$	Keduanya positif; urutan penting: $F({\nu }_1,{\nu }_2)\ne F({\nu }_2,{\nu }_1)$
${\chi }_{\alpha }^2(\nu )$	Persentil ke-$(1-\alpha )$ dari ${\chi }^2(\nu )$	$P({\chi }^2(\nu )>{\chi }_{\alpha }^2(\nu ))=\alpha$
$t_{\alpha }(\nu )$	Persentil ke-$(1-\alpha )$ dari $t(\nu )$	$P(t(\nu )>t_{\alpha }(\nu ))=\alpha$; simetris: $t_{1-\alpha }(\nu )=-t_{\alpha }(\nu )$
$F_{\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)$	Persentil ke-$(1-\alpha )$ dari $F({\nu }_1,{\nu }_2)$	$P(F>F_{\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2))=\alpha$
$S^2$	Variansi sampel	$\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$; estimator tak-bias ${\sigma }^2$
$S_p^2$	Variansi pooled (dua sampel)	$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$

Rumus Utama — Chi-Kuadrat ${\chi }^2(\nu )$

$${\chi }^2(\nu )=\sum _{i=1}^{\nu }{Z}_i^2,Z_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,1)$$

Label: Definisi via Normal Standar — penjumlahan $\nu$ kuadrat Normal standar independen.

$$f(x;\nu )=\frac{1}{2^{\nu /2}\Gamma (\nu /2)}{x}^{\nu /2-1}{e}^{-x/2},x>0$$

Label: PDF Chi-Kuadrat — ini adalah Gamma$(\alpha =\nu /2,\beta =2)$ dalam parametrisasi skala; berlaku ${\chi }^2(\nu )=\Gamma (\nu /2,2)$.

$$E[{\chi }^2(\nu )]=\nu ,\text{Var}({\chi }^2(\nu ))=2\nu$$

Label: Mean dan Variansi Chi-Kuadrat — mean = derajat kebebasan; variansi = dua kali derajat kebebasan.

$$M_{{\chi }^2(\nu )}(t)=(1-2t{)}^{-\nu /2},t<\frac{1}{2}$$

Label: MGF Chi-Kuadrat — bentuk Gamma$(nu/2,\beta =2)$; sifat aditif: ${\chi }^2({\nu }_1)+{\chi }^2({\nu }_2)\sim {\chi }^2({\nu }_1+{\nu }_2)$ untuk variabel independen.

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

Label: Distribusi Variansi Sampel — hasil kunci dari Fisher’s Theorem; derajat kebebasan $n-1$, bukan $n$, karena satu derajat kebebasan “digunakan” untuk mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$.

Rumus Utama — Distribusi-$t$ Student $t(\nu )$

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }},Z\sim N(0,1),V\sim {\chi }^2(\nu ),Z\perp V$$

Label: Definisi Distribusi-$t$ — rasio Normal standar dengan akar Chi-Kuadrat yang dinormalisasi.

$$f(t;\nu )=\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +1}{2}\right)}{\sqrt{\nu \pi }\Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}{\left(1+\frac{t^2}{\nu }\right)}^{-(\nu +1)/2},t\in \mathbb{R}$$

Label: PDF Distribusi-$t$ — simetris di nol; ekor lebih tebal dari Normal standar; mendekati $N(0,1)$ saat $\nu \to \infty$.

$$E[T]=0(\nu >1),\text{Var}(T)=\frac{\nu }{\nu -2}(\nu >2)$$

Label: Mean dan Variansi Distribusi-$t$ — mean nol (simetris); variansi $>1$ (ekor lebih tebal dari Normal); untuk $\nu \le 2$ variansi tidak terdefinisi.

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

Label: Statistik-$t$ Sampel — digunakan saat ${\sigma }^2$ tidak diketahui; penyebut menggunakan $S$ (standar deviasi sampel), bukan $\sigma$ (standar deviasi populasi).

Rumus Utama — Distribusi-$F$ $F({\nu }_1,{\nu }_2)$

$$F=\frac{U/{\nu }_1}{V/{\nu }_2},U\sim {\chi }^2({\nu }_1),V\sim {\chi }^2({\nu }_2),U\perp V$$

Label: Definisi Distribusi-$F$ — rasio dua Chi-Kuadrat independen yang masing-masing dibagi derajat kebebasannya.

$$E[F]=\frac{{\nu }_2}{{\nu }_2-2}({\nu }_2>2),\text{Var}(F)=\frac{2{\nu }_2^2({\nu }_1+{\nu }_2-2)}{{\nu }_1({\nu }_2-2{)}^2({\nu }_2-4)}({\nu }_2>4)$$

Label: Mean dan Variansi Distribusi-$F$ — mean bergantung hanya pada ${\nu }_2$ (derajat kebebasan denominator).

$$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

Label: Statistik-$F$ Dua Sampel — digunakan untuk membandingkan variansi dua populasi Normal independen.

Relasi Antar-Distribusi

$${\chi }^2(\nu )=\Gamma \left(\frac{\nu }{2},\beta =2\right)$$ $$t^2(\nu )\sim F(1,\nu )$$ $$F({\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{1}{F({\nu }_2,{\nu }_1)}\text{(invers distribusi)}$$ $$F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{1}{F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)}$$ $$t(\nu )\stackrel{\nu \to \infty }{\to }N(0,1),{\chi }^2(\nu )/\nu \stackrel{\nu \to \infty }{\to }1$$

Asumsi Eksplisit

• Chi-Kuadrat: Setiap $Z_i$ harus $N(0,1)$ dan independen. Sifat aditif mensyaratkan independensi.
• Distribusi-$t$: $Z$ dan $V$ harus independen. Ini terpenuhi secara otomatis untuk statistik $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$ dari sampel Normal karena Fisher’s Theorem menjamin $\bar{X}\perp S^2$.
• Distribusi-$F$: $U$ dan $V$ harus independen. Untuk uji dua sampel, dua sampel harus independen satu sama lain.
• Populasi Normal: Distribusi ${\chi }^2$, $t$, dan $F$ berlaku eksak hanya untuk sampel dari populasi Normal. Untuk populasi non-Normal, distribusi ini hanya pendekatan (valid untuk $n$ besar via CLT untuk distribusi $t$).
• Fisher’s Theorem: Kebebasan $\bar{X}$ dan $S^2$ adalah properti eksklusif distribusi Normal — untuk distribusi lain, $\bar{X}$ dan $S^2$ umumnya berkorelasi.

Section 3 — Jembatan Logika

Dari Definisi ke Rumus

Mengapa $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$ bukan ${\chi }^2(n)$?

Kita mulai dari identitas: ${\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}+{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)}^2$

Ruas kiri adalah jumlah $n$ kuadrat Normal standar independen → ${\chi }^2(n)$.

Suku kedua ruas kanan: ${\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)}^2\sim {\chi }^2(1)$ karena $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$.

Dari Fisher’s Theorem, $\bar{X}$ dan $S^2$ independen, sehingga dua suku di ruas kanan independen. Maka berdasarkan sifat aditif ${\chi }^2$ (terbalik): ${\chi }^2(n)={\chi }_{\text{kiri}}^2+{\chi }^2(1)⟹{\chi }_{\text{kiri}}^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

Kehilangan satu derajat kebebasan (dari $n$ ke $n-1$) mencerminkan bahwa mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$ mengimposes satu kendala linear pada deviasi $X_i-\bar{X}$: $\sum (X_i-\bar{X})=0$ selalu.

Tabel Perbandingan Tiga Distribusi Sampel

Properti	${\chi }^2(\nu )$	$t(\nu )$	$F({\nu }_1,{\nu }_2)$
Support	$(0,\infty )$	$(-\infty ,\infty )$	$(0,\infty )$
Simetri	Tidak simetris (right-skewed)	Simetris di nol	Tidak simetris
Mean	$\nu$	$0$ ($\nu >1$)	${\nu }_2/({\nu }_2-2)$ (${\nu }_2>2$)
Variansi	$2\nu$	$\nu /(\nu -2)$ ($\nu >2$)	Kompleks (${\nu }_2>4$)
Limit Normal	${\chi }^2(\nu )/\nu \to 1$	$t(\nu )\to N(0,1)$	$F(1,\nu )\to {\chi }^2(1)$
Konteks sampel	$(n-1)S^2/{\sigma }^2$	$(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$	$S_1^2/S_2^2$ (jika ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$)
df sampel	$n-1$	$n-1$	$n_1-1$, $n_2-1$

Derivasi Distribusi-$t$ dari Komponen:

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

Tulis ulang dalam bentuk standar. Bagi pembilang dan penyebut dengan $\sigma /\sqrt{n}$:

$$T=\frac{(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})}{\sqrt{S^2/{\sigma }^2}}=\frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}$$

di mana $Z=(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})\sim N(0,1)$ dan $V=(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$.

Karena $Z\perp V$ (Fisher’s Theorem), ini tepat memenuhi definisi $t(n-1)$:

$$T=\frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}\sim t(n-1)$$

Derivasi Distribusi-$F$ untuk Dua Sampel:

Untuk $X_1^{(1)},\dots ,X_{n_1}^{(1)}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ dan $X_1^{(2)},\dots ,X_{n_2}^{(2)}\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ independen:

$$U=\frac{(n_1-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(n_1-1),V=\frac{(n_2-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(n_2-1),U\perp V$$ $$F=\frac{U/(n_1-1)}{V/(n_2-1)}=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

Jika $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ maka $F=S_1^2/S_2^2\sim F(n_1-1,n_2-1)$ di bawah $H_0$.

Relasi Persentil $F$ dan Invers:

$$F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{1}{F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)}$$

Ini berguna ketika tabel hanya menyediakan nilai $\alpha$ kecil (ekor kanan) dan kita membutuhkan persentil ekor kiri. Contoh: $F_{0,95}(5,10)=1/F_{0,05}(10,5)$.

Dilarang

1. Dilarang menggunakan distribusi-$t$ tanpa asumsi populasi Normal (atau $n$ besar). Statistik $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$ hanya mengikuti distribusi $t(n-1)$ eksak untuk populasi Normal. Untuk populasi non-Normal dengan $n$ kecil, distribusinya bukan $t$ — gunakan metode non-parametrik atau bootstrap.
2. Dilarang mencampur derajat kebebasan. Untuk ${\chi }^2$: df $=n-1$ (bukan $n$). Untuk $t$: df $=n-1$ (bukan $n$). Untuk $F$ dua sampel: df numerator $=n_1-1$, df denominator $=n_2-1$ — urutan momennen dan denominator harus konsisten dengan statistik yang dihitung.
3. Dilarang mengasumsikan $\bar{X}$ dan $S^2$ independen untuk populasi non-Normal. Kebebasan $\bar{X}\perp S^2$ adalah properti eksklusif distribusi Normal. Untuk distribusi lain (Eksponensial, Gamma, dll.), $\bar{X}$ dan $S^2$ berkorelasi.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Dari sampel acak $X_1,\dots ,X_{16}$ dari $N(\mu =50,{\sigma }^2=25)$, definisikan $\bar{X}$ dan $S^2$ sebagai mean dan variansi sampel.

(a) Nyatakan distribusi $\bar{X}$ secara eksak. (b) Hitung $P(48\le \bar{X}\le 52,5)$. (c) Nyatakan distribusi $\frac{15S^2}{25}$ dan hitung $E\left[\frac{15S^2}{25}\right]$ serta $\text{Var}\left(\frac{15S^2}{25}\right)$. (d) Hitung $P(S^2\le 40)$, yaitu probabilitas bahwa variansi sampel tidak melampaui 40. (e) Nyatakan distribusi statistik $T=\frac{\bar{X}-50}{S/4}$ dan jelaskan mengapa dapat menggunakan distribusi ini.

Solusi Soal A

1. Identifikasi Variabel

• $X_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu =50,{\sigma }^2=25)$, sehingga $\sigma =5$
• $n=16$; df $=n-1=15$
• $\bar{X}$ = mean sampel; $S^2$ = variansi sampel

2. Identifikasi Distribusi / Model Populasi Normal eksak → distribusi $\bar{X}$ Normal eksak; $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$; $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})\sim t(n-1)$.

3. Setup Persamaan

Fisher’s Theorem: $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ dan $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$, $\bar{X}\perp S^2$.

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi $\bar{X}$: $\bar{X}\sim N\left(50,\frac{25}{16}\right)=N\left(50,1,5625\right)$ Standar error: $\text{SE}(\bar{X})=\sigma /\sqrt{n}=5/4=1,25$.

(b) $P(48\le \bar{X}\le 52,5)$:

Standarisasi dengan $\text{SE}=1,25$: $z_1=\frac{48-50}{1,25}=\frac{-2}{1,25}=-1,60,z_2=\frac{52,5-50}{1,25}=\frac{2,5}{1,25}=2,00$

$P(48\le \bar{X}\le 52,5)=\Phi (2,00)-\Phi (-1,60)$ $=\Phi (2,00)-[1-\Phi (1,60)]=0,9772-(1-0,9452)=0,9772-0,0548=0,9224$

(c) Distribusi, Mean, dan Variansi dari $\frac{15S^2}{25}$:

Dari Fisher’s Theorem dengan $n=16$, ${\sigma }^2=25$: $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{15S^2}{25}\sim {\chi }^2(15)$

Menggunakan properti ${\chi }^2(\nu )$: $E\left[\frac{15S^2}{25}\right]=\nu =15$ $\text{Var}\left(\frac{15S^2}{25}\right)=2\nu =30$

(d) $P(S^2\le 40)$:

Konversikan ke ${\chi }^2$: $P(S^2\le 40)=P\left(\frac{15S^2}{25}\le \frac{15\times 40}{25}\right)=P({\chi }^2(15)\le 24)$

Dari tabel ${\chi }^2$: $P({\chi }^2(15)\le 24,996)\approx 0,95$, sehingga $P({\chi }^2(15)\le 24)\approx 0,945$.

(Nilai eksak: persentil ke-94,5 distribusi ${\chi }^2(15)$ adalah sekitar 24.)

(e) Distribusi $T=(\bar{X}-50)/(S/4)$:

Tulis ulang: $T=\frac{\bar{X}-50}{S/\sqrt{16}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$

Dari Fisher’s Theorem:

• Pembilang standarisasi: $Z=(\bar{X}-50)/(5/4)\sim N(0,1)$
• $(n-1)S^2/{\sigma }^2=15S^2/25\sim {\chi }^2(15)$, dan $\bar{X}\perp S^2$

Maka $T=Z/\sqrt{(15S^2/25)/15}=Z/\sqrt{S^2/25}=Z/(S/5)$ — dan:

$T=\frac{\bar{X}-50}{S/4}\sim t(15)$

Justifikasi: Distribusi $t(n-1)$ berlaku karena: (1) populasi Normal sehingga $\bar{X}$ Normal, (2) $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$, dan (3) $\bar{X}\perp S^2$ (Fisher’s Theorem untuk populasi Normal).

5. Verification

• $\text{SE}(\bar{X})=5/4=1,25$: lebih kecil dari $\sigma =5$ karena rata-rata 16 pengamatan lebih stabil ✓
• $E[15S^2/25]=15=\nu$: konsisten dengan properti ${\chi }^2(\nu )$ ✓
• $P(S^2\le 40)\approx 0,945$: dengan $E[S^2]={\sigma }^2=25$ dan nilai 40 cukup di atas mean, probabilitas kumulatif mendekati 1 masuk akal ✓
• Derajat kebebasan $t$: $n-1=15$, bukan $n=16$ ✓

Exam Tips — Soal A

Target waktu: 10–12 menit Common trap 1: Standar error $\bar{X}$ adalah $\sigma /\sqrt{n}=5/4=1,25$ — bukan $\sigma =5$. Standarisasi harus menggunakan $\text{SE}$, bukan $\sigma$. Common trap 2: Untuk konversi ke ${\chi }^2$ di bagian (d): $P(S^2\le 40)=P({\chi }^2(15)\le 15\times 40/25)=P({\chi }^2(15)\le 24)$ — kalikan dengan $(n-1)/{\sigma }^2$, bukan hanya dibagi ${\sigma }^2$. Common trap 3: Derajat kebebasan $t$ dan ${\chi }^2$ adalah $n-1=15$, bukan $n=16$. Satu derajat kebebasan “hilang” karena mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$.

---

Soal B — Exam-Typical

Seorang aktuaris mengambil sampel $n=10$ polis asuransi dan memperoleh $\bar{x}=42$ juta rupiah dan $s=8$ juta rupiah. Diasumsikan nilai klaim mengikuti distribusi Normal dengan mean $\mu$ yang tidak diketahui.

(a) Bangun statistik $T$ yang berdistribusi $t(9)$ menggunakan $\bar{X}$, $S$, $\mu$, dan $n$. (b) Hitung $P\left(T\le 1,833\right)$ di mana $T\sim t(9)$ (nilai tabel). (c) Hitung $P\left(|\bar{X}-\mu |\le 4,634\right)$ menggunakan distribusi $t(9)$ dan $s=8$. (d) Misalkan aktuaris kedua mengambil sampel independen $n_2=8$ polis dari populasi yang sama dan memperoleh $s_2=6$. Bangun statistik $F$ yang membandingkan kedua variansi sampel dan tentukan distribusinya. (e) Gunakan relasi $F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=1/F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)$ untuk mencari $F_{0,95}(9,7)$ jika diketahui $F_{0,05}(7,9)=3,29$.

Solusi Soal B

1. Identifikasi Variabel

• Sampel 1: $n_1=10$, $\bar{x}=42$, $s_1=8$; ${\sigma }^2$ tidak diketahui
• Sampel 2: $n_2=8$, $s_2=6$; dari populasi sama (diasumsikan ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$)
• Populasi Normal

2. Identifikasi Distribusi / Model Karena ${\sigma }^2$ tidak diketahui: gunakan distribusi $t$. Perbandingan variansi: distribusi $F$.

3. Setup Persamaan

Statistik-$t$: $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$

Statistik-$F$: $F=S_1^2/S_2^2$ (jika ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$)

4. Eksekusi Aljabar

(a) Statistik $T\sim t(9)$: $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{10}}\sim t(9)$

Derajat kebebasan: $n-1=10-1=9$.

(b) $P(T\le 1,833)$ untuk $T\sim t(9)$:

Dari tabel distribusi-$t$: $t_{0,05}(9)=1,833$ berarti $P(T>1,833)=0,05$.

$P(T\le 1,833)=1-0,05=0,95$

Interpretasi: nilai 1,833 adalah persentil ke-95 dari $t(9)$.

(c) $P(|\bar{X}-\mu |\le 4,634)$:

Konversikan ke statistik $T$ menggunakan $s=8$ dan $n=10$: $P(|\bar{X}-\mu |\le 4,634)=P\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu }{8/\sqrt{10}}\right|\le \frac{4,634}{8/\sqrt{10}}\right)$

Hitung penyebut: $8/\sqrt{10}=8/3,162=2,530$.

$\frac{4,634}{2,530}=1,831\approx 1,833$

$P(|\bar{X}-\mu |\le 4,634)=P(|T|\le 1,833)=P(-1,833\le T\le 1,833)$ $=2{\Phi }_{t(9)}(1,833)-1=2(0,95)-1=0,90$

(menggunakan simetri $t$ di nol dan hasil bagian (b))

(d) Statistik $F$ dan distribusinya:

Karena diasumsikan ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ (populasi sama): $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{8^2}{6^2}=\frac{64}{36}=\frac{16}{9}\approx 1,778$

Distribusi: $F\sim F(n_1-1,n_2-1)=F(9,7)$.

Catatan: nilai $f_{\text{obs}}=1,778$ adalah realisasi terobservasi dari statistik $F$.

(e) $F_{0,95}(9,7)$ dari relasi invers:

Gunakan: $F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=1/F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)$ dengan $\alpha =0,05$, ${\nu }_1=9$, ${\nu }_2=7$: $F_{0,95}(9,7)=F_{1-0,05}(9,7)=\frac{1}{F_{0,05}(7,9)}=\frac{1}{3,29}\approx 0,304$

Interpretasi: $P(F(9,7)\le 0,304)=0,05$ — nilai ini adalah persentil ke-5 dari $F(9,7)$.

5. Verification

• $P(T\le 1,833)=0,95$: konsisten dengan notasi $t_{0,05}(9)=1,833$ artinya $P(T>1,833)=0,05$ ✓
• $P(|T|\le 1,833)=0,90$: interval dua sisi di tingkat 90% menggunakan persentil 95% dari masing-masing ekor ✓
• $F_{0,95}(9,7)=0,304<1$: persentil ke-5 dari distribusi $F$ yang right-skewed memang $<1$ (mean $F(9,7)=7/5=1,4>1$, persentil kecil harusnya $<1$) ✓
• Derajat kebebasan $F(9,7)$: numerator $=n_1-1=9$, denominator $=n_2-1=7$ ✓

Exam Tips — Soal B

Target waktu: 12–14 menit Common trap 1: Relasi invers $F$: $F_{0,95}(9,7)=1/F_{0,05}(7,9)$ — urutan df terbalik di sisi kanan. Banyak kandidat salah menulis $1/F_{0,05}(9,7)$ (urutan tidak terbalik). Common trap 2: Untuk bagian (c), pastikan membagi $4,634$ dengan standar error $s/\sqrt{n}$, bukan dengan $s$ saja. Common trap 3: Distribusi $F(9,7)$ untuk $S_1^2/S_2^2$ hanya valid di bawah $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$. Jika ${\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$, statistiknya adalah $F=(S_1^2/{\sigma }_1^2)/(S_2^2/{\sigma }_2^2)$.

---

Soal C — Challenging

Misalkan $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$. Definisikan $\bar{X}$, $S^2$, dan $S_n^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ (variansi sampel dengan penyebut $n$, bukan $n-1$).

(a) Tunjukkan bahwa $\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}+{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)}^2$ dan identifikasi distribusi masing-masing suku di ruas kanan.

(b) Gunakan dekomposisi pada (a) dan kebebasan $\bar{X}$ dari $S^2$ untuk membuktikan bahwa $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$.

(c) Tunjukkan bahwa $E[S_n^2]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$ (bias ke bawah) dan $E[S^2]={\sigma }^2$ (tak-bias).

(d) Misalkan $Y=c{S}^2/{\sigma }^2$ berdistribusi ${\chi }^2(\nu )$. Tentukan nilai $c$ dan $\nu$ dari $n$ dan definisikan derajat kebebasan.

(e) Untuk $n=25$ dan ${\sigma }^2=9$ (diketahui), tentukan interval $[a,b]$ simetris sehingga $P(a\le S^2\le b)=0,90$ menggunakan persentil ${\chi }^2(24)$: ${\chi }_{0,05}^2(24)=36,415$ dan ${\chi }_{0,95}^2(24)=13,848$.

Solusi Soal C

1. Identifikasi Variabel

• $X_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$; $n$ umum
• $S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$ (tak-bias); $S_n^2=\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$ (MLE, bias)

2. Identifikasi Distribusi / Model Bukti formal Fisher’s Theorem via dekomposisi jumlah kuadrat. Hubungan ${\chi }^2$, $\Gamma$, dan variansi sampel.

3. Setup Persamaan

Identitas aljabar kunci: $\sum (X_i-\mu {)}^2=\sum (X_i-\bar{X}{)}^2+n(\bar{X}-\mu {)}^2$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Dekomposisi jumlah kuadrat:

Mulai dari identitas $(X_i-\mu )=(X_i-\bar{X})+(\bar{X}-\mu )$:

${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2={\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2+2(\bar{X}-\mu )\underset{=0}{\underbrace{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})}}+n(\bar{X}-\mu {)}^2$

Suku silang hilang karena $\sum (X_i-\bar{X})=0$ selalu. Bagi dengan ${\sigma }^2$: ${\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\underset{=(n-1)S^2/{\sigma }^2}{\underbrace{\frac{\sum (X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}}}+\underbrace{{\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)}^2}$

Identifikasi distribusi masing-masing:

• Ruas kiri: $\sum Z_i^2$ di mana $Z_i=(X_i-\mu )/\sigma \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(0,1)$ → ${\chi }^2(n)$
• Suku kedua ruas kanan: ${\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\right)}^2=Z_{\bar{X}}^2$ di mana $Z_{\bar{X}}\sim N(0,1)$ → ${\chi }^2(1)$
• Suku pertama ruas kanan: $(n-1)S^2/{\sigma }^2$ — akan ditentukan distribusinya di bagian (b)

(b) Bukti $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$:

Dari dekomposisi di (a): $Q_n=Q_{n-1}+Q_1$ di mana:

• $Q_n=\sum Z_i^2\sim {\chi }^2(n)$
• $Q_1=Z_{\bar{X}}^2\sim {\chi }^2(1)$
• $Q_{n-1}=(n-1)S^2/{\sigma }^2$

Fisher’s Theorem (diterima sebagai fakta untuk populasi Normal) menyatakan $\bar{X}\perp S^2$, sehingga $Q_1\perp Q_{n-1}$.

Hitung MGF $Q_{n-1}$ menggunakan sifat aditif ${\chi }^2$ (terbalik): jika $Q_n=Q_{n-1}+Q_1$ dan keduanya independen: $M_{Q_n}(t)=M_{Q_{n-1}}(t)\cdot M_{Q_1}(t)$ $(1-2t{)}^{-n/2}=M_{Q_{n-1}}(t)\cdot (1-2t{)}^{-1/2}$ $M_{Q_{n-1}}(t)=(1-2t{)}^{-n/2}/(1-2t{)}^{-1/2}=(1-2t{)}^{-(n-1)/2}$

Ini adalah MGF ${\chi }^2(n-1)$. Oleh Uniqueness Theorem: $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)✓$

(c) Bias $S_n^2$ dan tak-bias $S^2$:

Karena $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$ dengan $E[{\chi }^2(n-1)]=n-1$: $E\left[\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\right]=n-1⟹E[S^2]={\sigma }^2\text{(tak-bias) ✓}$

Hubungan $S_n^2$ dan $S^2$: $S_n^2=\frac{n-1}{n}{S}^2$, sehingga: $E[S_n^2]=\frac{n-1}{n}E[S^2]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2<{\sigma }^2\text{(bias ke bawah) ✓}$

Bias: $E[S_n^2]-{\sigma }^2=-{\sigma }^2/n$ (mendekati nol untuk $n$ besar).

(d) Nilai $c$ dan $\nu$:

Dari hasil (b): $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$.

Maka $Y=c{S}^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(\nu )$ mensyaratkan: $c=n-1,\nu =n-1$

Derajat kebebasan $\nu =n-1$ mencerminkan bahwa dari $n$ deviasi $X_i-\bar{X}$, hanya $n-1$ yang bebas karena kendala $\sum (X_i-\bar{X})=0$.

(e) Interval $[a,b]$ untuk $P(a\le S^2\le b)=0,90$ dengan $n=25$, ${\sigma }^2=9$:

Konversikan ke ${\chi }^2(24)$ menggunakan $(n-1)S^2/{\sigma }^2=24S^2/9$: $P(a\le S^2\le b)=P\left(\frac{24a}{9}\le {\chi }^2(24)\le \frac{24b}{9}\right)=0,90$

Pilih interval simetris dalam arti probabilitas ekor masing-masing $=0,05$: $P({\chi }^2(24)\le 24a/9)=0,05⟹\frac{24a}{9}={\chi }_{0,95}^2(24)=13,848$ $a=\frac{13,848\times 9}{24}=\frac{124,632}{24}=5,193$

$P({\chi }^2(24)\le 24b/9)=0,95⟹\frac{24b}{9}={\chi }_{0,05}^2(24)=36,415$ $b=\frac{36,415\times 9}{24}=\frac{327,735}{24}=13,655$

$\boxed{P(5,193\le S^2\le 13,655)=0,90}$

5. Verification

• Dekomposisi: ${\chi }^2(n)={\chi }^2(n-1)+{\chi }^2(1)$: $n=(n-1)+1$ ✓ (derajat kebebasan aditif)
• $E[S^2]={\sigma }^2=9$: interval $[5,193,13,655]$ mencakup nilai $9$ di dalamnya ✓
• Interval $S^2$ tidak simetris di sekitar $E[S^2]=9$: $9-5,193=3,807$ dan $13,655-9=4,655$ — distribusi ${\chi }^2$ right-skewed sehingga interval $S^2$ tidak simetris ✓
• Rumus: batas bawah $={\chi }_{\alpha /2,\text{bawah}}^2\cdot {\sigma }^2/(n-1)$; batas atas $={\chi }_{\alpha /2,\text{atas}}^2\cdot {\sigma }^2/(n-1)$ ✓

Exam Tips — Soal C

Target waktu: 18–22 menit Common trap 1: Persentil ${\chi }^2$ untuk interval dua sisi: $P(a\le {\chi }^2\le b)=0,90$ menggunakan persentil ke-5 (${\chi }_{0,95}^2$) sebagai batas bawah dan persentil ke-95 (${\chi }_{0,05}^2$) sebagai batas atas — notasi ${\chi }_{\alpha }^2$ berarti $P({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2)=\alpha$. Banyak kandidat terbalik mana persentil atas dan bawah. Common trap 2: Untuk konversi $P(S^2\le b)\to P({\chi }^2(24)\le 24b/9)$ — kalikan $S^2$ dengan $(n-1)/{\sigma }^2=24/9$, bukan hanya $1/{\sigma }^2=1/9$. Common trap 3: Interval untuk $S^2$ tidak simetris di sekitar ${\sigma }^2$ karena distribusi ${\chi }^2$ right-skewed. Jangan menggunakan interval simetris ${\sigma }^2\pm c$ — gunakan transformasi ${\chi }^2$ yang benar.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Validasi Identifikasi Distribusi Sampel

Sebelum menggunakan distribusi ${\chi }^2$, $t$, atau $F$:

1. Populasi harus Normal (atau aproksimasi untuk $n$ besar) ✓
2. Derajat kebebasan harus benar: ${\chi }^2$ dan $t$ menggunakan $n-1$; $F$ menggunakan $n_1-1$ dan $n_2-1$ ✓
3. Independensi yang diperlukan terpenuhi: $\bar{X}\perp S^2$ (Fisher’s Theorem, hanya untuk Normal); dua sampel independen untuk $F$ ✓

Validasi Persentil dan Probabilitas

1. Notasi ${\chi }_{\alpha }^2(\nu )$: $P({\chi }^2(\nu )>{\chi }_{\alpha }^2(\nu ))=\alpha$ — ini adalah ekor kanan; nilai lebih besar untuk $\alpha$ lebih kecil ✓
2. Notasi $t_{\alpha }(\nu )$: $P(t(\nu )>t_{\alpha }(\nu ))=\alpha$ — karena simetri: $t_{1-\alpha }(\nu )=-t_{\alpha }(\nu )$ ✓
3. Untuk interval dua sisi $P(|T|\le c)=1-\alpha$: gunakan $c=t_{\alpha /2}(\nu )$ ✓
4. Relasi invers $F$: $F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=1/F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)$ — urutan df terbalik ✓

Validasi Konversi Statistik

Untuk menghitung probabilitas tentang $S^2$:

1. Konversikan: $P(S^2\le c)=P\left({\chi }^2(n-1)\le \frac{(n-1)c}{{\sigma }^2}\right)$ ✓
2. Untuk statistik $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$: derajat kebebasan $=n-1$, penyebut menggunakan $S$ (bukan $\sigma$) ✓
3. Untuk statistik $F=S_1^2/S_2^2$ (jika ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$): df $=(n_1-1,n_2-1)$ ✓

Metode Alternatif

Menggunakan relasi ${\chi }^2=\Gamma$ untuk menghitung probabilitas: ${\chi }^2(\nu )=\Gamma (\nu /2,\beta =2)$, sehingga probabilitas ${\chi }^2$ dapat dihitung via tabel Gamma atau hubungan Gamma–Poisson untuk $\nu$ genap ($\nu /2\in {\mathbb{Z}}^{+}$).

Menggunakan $t^2\sim F(1,\nu )$ untuk konversi: $P(|T|>c)=P(T^2>c^2)=P(F(1,\nu )>c^2)$ — berguna ketika tabel $F$ lebih lengkap dari tabel $t$.

Simetri distribusi $t$ untuk probabilitas dua sisi: $P(|T|\le c)=2P(T\le c)-1=2{\Phi }_t(c)-1$ menggunakan simetri di nol.

Section 6 — Visualisasi Mental

Chi-Kuadrat — Histogram Ekor Kanan:

PDF ${\chi }^2(\nu )$ adalah kurva yang mulai dari 0, naik ke modus di $\max (\nu -2,0)$, lalu turun dengan ekor kanan panjang. Untuk $\nu =1$ atau $\nu =2$: modus di 0, menurun monoton. Untuk $\nu$ besar: mendekati Normal $N(\nu ,2\nu )$. Selalu non-negatif karena merupakan jumlah kuadrat. Semakin besar $\nu$, kurva semakin “datar” dan bergeser ke kanan.

Distribusi-$t$ — Lonceng Lebih Gemuk:

Bentuknya mirip Normal standar — lonceng simetris di nol — tetapi ekor lebih tebal. Untuk $\nu =1$ (Cauchy): ekor sangat tebal, tidak memiliki mean. Untuk $\nu =5$: sudah cukup mirip Normal. Untuk $\nu \ge 30$: hampir tidak bisa dibedakan dari $N(0,1)$. Implikasi: interval kepercayaan menggunakan $t$ lebih lebar dari menggunakan $z$ — mencerminkan ketidakpastian tambahan karena ${\sigma }^2$ tidak diketahui.

Distribusi-$F$ — Asimetris Positif:

Support $(0,\infty )$, right-skewed. Untuk ${\nu }_1,{\nu }_2$ besar: mendekati Normal. Perhatikan bahwa $F({\nu }_1,{\nu }_2)=1/F({\nu }_2,{\nu }_1)$ — membalik distribusi berarti membalik urutan df. Kurva dimulai dari 0, naik ke modus di $({\nu }_1-2)/{\nu }_1\cdot {\nu }_2/({\nu }_2+2)$ (jika ${\nu }_1>2$), lalu menurun dengan ekor kanan.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Pelebaran ekor distribusi-$t$ dibanding Normal berkorespondensi dengan:

$$\text{Var}(t(\nu ))=\frac{\nu }{\nu -2}>1⟷\text{ekor lebih tebal dari }N(0,1)\text{ yang Var}=1$$

Distribusi ${\chi }^2$ mendekati Normal untuk $\nu$ besar berkorespondensi dengan:

$$\sqrt{2{\chi }^2}-\sqrt{2\nu -1}\approx N(0,1)\text{ untuk }\nu \text{ besar}⟷\text{kurva semakin simetris}$$

Relasi invers distribusi-$F$ berkorespondensi dengan:

$$F({\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{U/{\nu }_1}{V/{\nu }_2}=\frac{1}{V/{\nu }_2÷U/{\nu }_1}=\frac{1}{F({\nu }_2,{\nu }_1)}⟷\text{balik pecahan = balik distribusi}$$

Section 7 — Jebakan Umum

Kesalahan Parametrisasi

Jebakan utama — Derajat kebebasan yang salah:

Statistik	df BENAR	df SALAH yang umum
$(n-1)S^2/{\sigma }^2$	${\chi }^2(n-1)$	${\chi }^2(n)$
$(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})$	$t(n-1)$	$t(n)$ atau $N(0,1)$
$S_1^2/S_2^2$ (jika ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$)	$F(n_1-1,n_2-1)$	$F(n_1,n_2)$
$F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)$	$=1/F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)$	$=1/F_{\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)$ (tidak terbalik)

Penyebab: Kehilangan satu df karena mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$; imposes kendala $\sum (X_i-\bar{X})=0$.

Kesalahan Konseptual

1. Menggunakan $Z=(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})$ saat ${\sigma }^2$ tidak diketahui. Jika ${\sigma }^2$ tidak diketahui dan diestimasi dengan $S^2$, statistik yang benar adalah $T=(\bar{X}-\mu )/(S/\sqrt{n})\sim t(n-1)$ — bukan $N(0,1)$. Perbedaannya signifikan untuk $n$ kecil.
2. Mengasumsikan $\bar{X}\perp S^2$ untuk populasi non-Normal. Ini hanya berlaku untuk populasi Normal (Fisher’s Theorem). Untuk distribusi lain, $\bar{X}$ dan $S^2$ dapat berkorelasi.
3. Terbalik arah persentil ${\chi }^2$ untuk interval dua sisi. Untuk $P(c_1\le {\chi }^2(\nu )\le c_2)=1-\alpha$: batas bawah $c_1={\chi }_{1-\alpha /2}^2(\nu )$ (persentil ke-$\alpha /2$, nilai kecil) dan batas atas $c_2={\chi }_{\alpha /2}^2(\nu )$ (persentil ke-$(1-\alpha /2)$, nilai besar). Notasi ${\chi }_{\alpha }^2$ adalah nilai dengan probabilitas ekor kanan $\alpha$ — bukan persentil ke-$\alpha$.
4. Salah urutan df dalam relasi invers $F$. $F_{0,95}(9,7)=1/F_{0,05}(7,9)$ — urutan df di kedua sisi TERBALIK. Kesalahan umum: menulis $1/F_{0,05}(9,7)$ tanpa membalik urutan.

Kesalahan Interpretasi Soal

• ”${\sigma }^2$ tidak diketahui”: Otomatis gunakan $t$, bukan $Z$. Ini adalah petunjuk wajib untuk distribusi $t$.
• “Bandingkan variansi dua populasi”: Otomatis distribusi $F$; pastikan identifikasi mana yang menjadi numerator/denominator karena $F({\nu }_1,{\nu }_2)\ne F({\nu }_2,{\nu }_1)$.
• “Interval untuk ${\sigma }^2$ atau $S^2$”: Gunakan transformasi ${\chi }^2$: $P(c_1\le (n-1)S^2/{\sigma }^2\le c_2)$.
• “Distribusi eksak” vs “aproksimasi”: Untuk populasi Normal: $t$, ${\chi }^2$, $F$ berlaku eksak untuk $n$ berapapun. Untuk populasi non-Normal: hanya berlaku sebagai aproksimasi untuk $n$ besar (via CLT untuk $t$).

Red Flags

• Soal menyebut ”${\sigma }^2$ tidak diketahui” dengan populasi Normal: Distribusi $t$ wajib — bukan $Z$.
• Soal meminta interval kepercayaan atau uji untuk ${\sigma }^2$: Distribusi ${\chi }^2$ dengan $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$.
• Soal memberikan dua variansi sampel $S_1^2$ dan $S_2^2$: Distribusi $F$ untuk perbandingan.
• Soal meminta persentil ekor kiri distribusi $F$: Gunakan relasi invers dengan membalik df.
• Soal menyebut ”$n$ kecil” (misal $n<30$) dan populasi Normal: Distribusi $t$ atau ${\chi }^2$ berlaku eksak — jangan aproksimasi dengan Normal.
• Soal meminta distribusi $T^2$: $T^2\sim F(1,n-1)$ — gunakan relasi $t^2\sim F(1,\nu )$.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Must-Remember

1. Fisher’s Theorem — fondasi semua distribusi sampel Normal: $X_i\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)⟹\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right),\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),\bar{X}\perp S^2$
2. Chi-Kuadrat — jumlah kuadrat Normal standar, relasi Gamma: ${\chi }^2(\nu )={\sum }_{i=1}^{\nu }{Z}_i^2,E=\nu ,\text{Var}=2\nu ,{\chi }^2(\nu )=\Gamma (\nu /2,2)$
3. Distribusi-$t$ — ketika ${\sigma }^2$ tidak diketahui: $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1),\text{ekor lebih tebal dari }N(0,1),t(\nu )\to N(0,1)\text{ saat }\nu \to \infty$
4. Distribusi-$F$ — rasio dua variansi sampel: $F=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1),F_{1-\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)=\frac{1}{F_{\alpha }({\nu }_2,{\nu }_1)}$
5. Relasi kunci antar-distribusi: $t^2(\nu )\sim F(1,\nu ),{\chi }^2({\nu }_1)+{\chi }^2({\nu }_2)\sim {\chi }^2({\nu }_1+{\nu }_2)\text{ (independen)},{\chi }^2(\nu )=\Gamma (\nu /2,2)$

Kapan Digunakan

• Chi-Kuadrat: Inferensi tentang ${\sigma }^2$ (interval kepercayaan, uji); distribusi statistik $(n-1)S^2/{\sigma }^2$; uji kecocokan distribusi (goodness of fit); uji independensi tabel kontingensi.
• Distribusi-$t$: Inferensi tentang $\mu$ ketika ${\sigma }^2$ tidak diketahui; interval kepercayaan dan uji satu sampel atau dua sampel (berpasangan atau independen).
• Distribusi-$F$: Perbandingan variansi dua populasi; uji homogenitas variansi; ANOVA.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jangan $t$ atau ${\chi }^2$ eksak untuk populasi non-Normal dengan $n$ kecil — distribusi tidak valid. Gunakan metode non-parametrik atau bootstrap.
• Jangan $Z=(\bar{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})$ jika ${\sigma }^2$ tidak diketahui — gunakan $t$ dengan $S$.
• Jangan $F$ jika dua sampel tidak independen (misalnya data berpasangan before-after) — gunakan uji $t$ berpasangan.
• Jangan asumsikan $\bar{X}\perp S^2$ untuk populasi non-Normal — properti eksklusif Normal.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Sampel dari populasi Normal<br>n, X-bar, S^2 tersedia"] --> B["Inferensi tentang apa?"]
    B --> C["Mean mu"]
    B --> D["Variansi sigma^2"]
    B --> E["Perbandingan dua variansi"]
    C --> F["Apakah sigma^2 diketahui?"]
    F -->|"Ya"| G["Z = (X-bar - mu) / (sigma/sqrt(n))<br>~ N(0,1)"]
    F -->|"Tidak"| H["T = (X-bar - mu) / (S/sqrt(n))<br>~ t(n-1)"]
    D --> I["Chi-Kuadrat:<br>(n-1)S^2/sigma^2 ~ chi^2(n-1)<br>df = n-1"]
    E --> J["F = (S1^2/sigma1^2) / (S2^2/sigma2^2)<br>~ F(n1-1, n2-1)<br>Jika H0: sigma1^2=sigma2^2 maka F=S1^2/S2^2"]
    H --> K["df = n-1, bukan n<br>Ekor lebih tebal dari Normal<br>Untuk n besar: t approx N(0,1)"]
    I --> L["Interval untuk sigma^2:<br>Gunakan persentil chi^2<br>Interval tidak simetris di sekitar sigma^2"]
    J --> M["Persentil F ekor kiri:<br>F_{1-alpha}(v1,v2) = 1/F_alpha(v2,v1)<br>Balik KEDUA df"]

---

Follow-up Options

1. “Berikan soal variasi: turunkan interval kepercayaan 95% untuk $\mu$ menggunakan distribusi $t$ dan untuk ${\sigma }^2$ menggunakan distribusi ${\chi }^2$ dari data sampel yang diberikan”
2. “Jelaskan hubungan 4.2 Distribusi Sampel dengan 4.7 Pengujian Hipotesis — bagaimana ${\chi }^2$, $t$, dan $F$ digunakan sebagai statistik uji”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5 | 🗓️ 2026-02-21 | CF2 InferensStatistik DistribusiSampel ChiKuadrat TDistribusi FDistribusi NormalSampel